Intégrales généralisées

par **EZ3kiel** » 31 Jan 2009, 19:02

Bonjour, je suis dans les chapitres des intégrales généralisés (convergence, divergence, etc) et ils nous demandent de montrer la convergence de I = int de 0 à +infini (exp(-sqrt(t))dt. Et ensuite de la calculer..
On a une aide qui nous dit : "On peut montrer que lim(t²*exp(sqrt(t))=0 en +infini et conclure sur un majorant de exp(sqrt(t))...

Rep : I = 2

Voilou si vous avez une idée, car moi je comprend pas trop comment utiliser l'aide...

par **XENSECP** » 31 Jan 2009, 19:03

avec tex ?

par **kazeriahm** » 31 Jan 2009, 19:28

limite en l'infini de t^2*exp(-racine(t))=0 donc exp(-racine(t)) tend vers 0 plus vite que 1/t^2. Ca t'aide ?

Pour le calcul je te conseille un changement de variable pas trop dur à imaginer.

par **EZ3kiel** » 31 Jan 2009, 19:35

Hmm Comment peut-on exprimer un plus "grande" rapidité de convergence? D'ailleurs je pensais que l'exponentielle l'emportait sur la fonction puissance..enfin ce n'est peut être vrai qu'en l'infini...

par **kazeriahm** » 31 Jan 2009, 19:40

Bah l'exponentielle l'emporte toujours : exp(-x) tend plus vite vers 0 que tout les 1/t^n

N'as-tu pas vu dans ton cours la notation f=o(g) et des propriétés d'intégrabilité liées à ce o ?

par **EZ3kiel** » 31 Jan 2009, 19:44

Non, ça ne me dit rien, c'était l'année dernière, mais je ne sais plus trop les propriétés liées aux fonctions composées..

par **kazeriahm** » 31 Jan 2009, 19:55

erf, desolé de t'avoir induit en confusion, ici le o ne désigne pas la composée (comme quand on écrit f o g).

Dans ce cadre, c'est une notation qui permet de comparer les comportements de deux fonctions en un point

Par exemple on écrit f=o(g) en l'infini si f/g tend vers 0 en l'infini

J'aurai du me douter que tu n'avais pas vu ca si j'avais lu jusqu'au bout l'indication qui t'es donnée

Bref pour revenir à ton problème, pour montrer la convergence de ton intégrale I, je pense que ce qu'ils veulent te faire faire c'est montrer que pour t assez grand on peut écrire exp(-racine(t))<= 1/t^2

Tu as du voir que t->1/t^2 était intégrable au voisinage de l'infini (sur [1, +l'infini par exemple) ?

par **EZ3kiel** » 31 Jan 2009, 20:14

Oui effectivement, mais on séparais souvent 2 cas : sur [0;1] si a<1 --convergence de 1/t^a
sur [0;+infini] si a>1 -- convergence de 1/t^a
Mais du coup, nous sommes ici sur du [0;+00] donc cest une somme d'intégrale divergente et convergente, et donc l'intégrale totale serait divergente, or, il faut montrer que c'est convergent...

par **EZ3kiel** » 31 Jan 2009, 20:44

Ok j'ai trouvé pour la convergence en fait ;) Merci de ta patience!
par contre le chgt de variable évident...euh il doit pas être si évident que ça pour moi ^^

par **EZ3kiel** » 31 Jan 2009, 20:53

bon bah j'ai aussi trouvé l'intégrale ^^ dsl pour le dérangement! merci de votre aide! a pluch!

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