Integrales / développement éléments simples

[john_dubare]

Bonjour,

Voici mon problème :

Je dois résoudre l'intégrale suivante ;)dx/(x^3-1)

mon résonnement :

x^3-1 = (x-1)(x²+x+1)

--> 1/((x-1)(x²+x+1)) = A/(x-1) + (Bx+C)/(x²+x+1)

--> racines : _ x-1 = 0 --> x=1
_ x²+x+1 = 0 --> 2 racines complexes : z1 = (-1-i;)3)/2 et z2 = (-1+i;)3)/2

je peux déduire A = 1/3 en prenant la racine correspondant à x=1 mais ensuite je ne sais que faire avec les racines complexes, je me doute que le principe est le même mais je m'y perds (surtout à l'heure qu'il est), quelqu'un peut-il me guider sur la bonne voie?

Merci.

[lavela]

bjr,en fait il ne faut pas se complique la vie ,l'idee est la ,mais le probleme ,apres avoir ,tu 1/(x^3-1)=a/(x-1) + (bx +c)/(x^2+x+1),puis tu rends au meme denominateur,tu vas trouver les coeficients,donc,pour le premier c'est ln a coeficients pres pour le duexieme, c'est arctan a coef pres,bon c'est tout :++:

[john_dubare]

et bien je vais essayer ça alors, merci.

[john_dubare]

apres de multiples essais, je suis toujours bloqué au meme point.

Quelqu'un pourrait-il me montrer une solution détaillée histoire que je comprenne la méthode?

merci.

[Dyo]

Tu multiplies toute ton expression par (x²+x+1) et tu remplaces x par i
on obtient : (3-(i²+i+1))/3(i-1) = (Bi+C)

Tu prends la partie réelle du complexe pour avoir C, et l'imaginaire pour avoir B.

[john_dubare]

Bonjour,

ça y est j'ai réussi ma décomposition et mon identification, il me reste juste un petit probleme pour terminer l'exercice :

je ne parvient pas à trouver la primitive de (x-1)/(x²+x+1)

Quelqu'un peut-il m'aider ? merci

[alben]

Bonjour
Tu vas tomber sur un arctan. x²+x+1=(x-0,5)²+3/4
pose

[john_dubare]

merci,

petite correction: x²+x+1 = (x+0.5)²+(3/4)

j'ai essayer mais je n'arrive a rien... je ne comprend pas comment je suis censé deviné qu'il faut poser 2(x-1) = ;)3 u

[fatal_error]

Yop, pour x²+X+1 :
tu le factorises : (X+1/2)²+3/4;
tu factorises par 3/4 pour avoir une 'forme' de la dérivée de arctan //(1/(1+T²))
=>3/4 * [(sqr(4/3)*(X+1/2)²+1]
=>tu déblaies un peu en posant Y=sqr(4/3)*(X+1/2);
Pis après tu cherches la valeur du numérateur donc la relation X->Y
soit X=Y/sqr(4/3)-1/2;
tu remplaces alors dans ta fraction :
et tu obtiens qqch du style
(ax-B)/(x²+1);
tu sépares en deux fractions. (1)ax/denom et (2)-B/denom
pour (1) tu sais que [ln(x²+1)]'=2x*1/denom =>suffit de trouver le bon coefficient devant la primitive ln(x²+1)+C

pour (2) la primitive est arctan :we:

[john_dubare]

super! merci bien