Intégrales curvilignes

[smartynina]

Bonjour,

Je n'arrive pas à comprendre la correction d'un exercice sur les intégrales curvilignes :

On cherche à calculer l'intégrale de exp(-z^2) sur un chemin définit par trois morceaux :
premier : un morceau de droite de 0 à R I1
deuxième : une portion de cercle de 0 à Pi/4 I2
dernier : un morceau de droite de R à 0. I3

Ils ont calculés chaque portion avec cette formule :

int(f(z))*dz = int(f(C(t))C'(t))*dt qui semble etre celle du changement de variable.

Mon problème est que je ne retrouve pas les mêmes resultats qu'eux :

I1= int(exp(-z^2))*dt de 0 àR
I2=int(exp(-(R^2)*exp(i*2*teta))*R*exp(i*teta))dteta de 0 à Pi/4
I3=int(exp(-i*t^2)*exp(i*Pi/4))dt de 0 à R

Merci. :mur: :marteau:

[mathelot]

On cherche à calculer l'intégrale de exp(-z^2) sur un chemin définit par trois morceaux :
premier : un morceau de droite de 0 à R I1
deuxième : une portion de cercle de 0 à Pi/4 I2
dernier : un morceau de droite de R à 0. I3

bjr,

z=Rt
dz=Rdt


La relation z=Rt est un paramètrage du segment [0,R]. Le segment devient une courbe continuement différentiable.

On remplace z par Rt et dz par Rdt. Normalement z=x+iy
donne dz=dx+idy mais içi le chemin suit l'axe x'Ox et la variation de y est nulle. dy=0




Là, la courbe est un huitième d'arc de cercle et la variation sur la composante y est

on revient au bercail selon la droite d'équation

L'équation de cette droite est y=x
d'où un paramètrage est:
x=t
y=t
z=x+iy
dz=dx+idy=(1+i)dt
mais ça ce n'est pas trop pratique,car apparaissent des racines carrées
alors on fait autrement, en polaire:




L'exponentielle est constante, car la courbe est un segment de droite
de pente constante.

Pour ceux qui veulent comprendre ce qu'est le calcul infinitésimal, voilà
une expérience simple à faire:


Tracer à la calculatrice la courbe d'équation .
zoomer au voisinage de x=1 jusqu'à que la courbe devienne une droite.
l'équation de cette droite est la relation différentielle.
la calculatrice donne une image à ce que sont des infinitésimaux:
ce sont les variables lorsque la courbe est devenue une droite.

Heuristique: Une courbe est décrite par une relation algébrique entre différentes quantités. Quand ces quantités varient, la relation algébrique entre quantités induit une relation entre les variations des quantités.

La nouvelle relation s'obtient en différentiant. Elle n'est valable que pour
des variations infinitésimales, ce qui rend la théorie inventée par Leibnitz
géniale , pratique mais obscure. Qu'est-ce qu'un infinitésimal ? En particulier,
on a extrêmement de peine à passer du calcul infinitésimal au développement décimal de la variable , qui représente lui aussi un infiniments petit.