Integrale d'une fonction

[barbu23]

Comment montres-tu qu'une fonction bornée sur plein de morceaux est bornée? (ce que tu dis avec "par recollement". Alors que ce n'est pas un recollement)

En gros, tu veux trouver un réel M et y_0 (dans l'espace d'arrivée de f) tels que . Qui est ce M?

En remarquant que :

C'est juste une façon parmi d'autres de traduire ce j'entends par recollement. :happy3:
Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

Edit ; Il y'a une petite coquille dans ce que j'ai écrit, car en réalité : n'a pas de sens, puisqu'il n'y'a pas de norme globalement, mais localement, sur des cartes locales, oui. ( Il y'en a que deux d'ailleurs pour les deux espaces projectifs et ). Donc, est localement normée par la norme usuelle sur . Donc, Bref, on peut se permettre d'écrire ainsi :

avec : et sont les deux cartes locales standards de l'espace projectif en tant qu'espace d'arrivée.
Est ce correct ?
Merci d'avance. :happy3:

Edit : D'autres messages ont été diffusé, attendez, je vais me pencher à les lire. :happy3:

Cordialement.

[Ben314]

Du vrai Barbu, "pur jus"...

... n'a pas de sens...

...on peut se permettre d'écrire ainsi :

En plus ton truc dépend clairement des cartes utilisées et je suppute fortement que, si on te demande pourquoi tu utilise ces deux cartes là et pas d'autres, tu va répondre que tu n'en sait rien (voire même que tu ne comprend pas la question).

[barbu23]

Du vrai Barbu, "pur jus"...En plus ton truc dépend clairement des cartes utilisées et je suppute fortement que, si on te demande pourquoi tu utilise ces deux cartes là et pas d'autres, tu va répondre que tu n'en sait rien (voire même que tu ne comprend pas la question).

Parce que ne dépend du choix de l'Atlas, le supremum de ne depend pas de l'Atlas choisi.
Si on choisit sur un Atlas, alors est aussi le supremum de sur n'importe quel autre Atlas, y compris sur l'Atlas minimal ( le plus simple ), celui que j'ai décrit çi - dessus. Du moins, ce que je pense. :happy3:
non ?

[barbu23]

Voici ce qui se dit là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,806651
Donc, on ne peut pas parler de bornitude dans un espace topologique malheureusement.

[SLA]

Voici ce qui se dit là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,806651
Donc, on ne peut pas parler de bornitude dans un espace topologique malheureusement.

En effet, mais la topologie des espaces projectifs est métrisable. Donc ça a un sens. Par contre ton truc sur les cartes, j'y comprends rien.

[barbu23]

En effet, mais la topologie des espaces projectifs est métrisable. Donc ça a un sens. Par contre ton truc sur les cartes, j'y comprends rien.

La topologie des espaces projectifs est métrisable en tant que variété ou bien en tant qu'espace topologique ? Et moi, j'aimerai surtout ne pas utiliser une métrique autre que la valeur absolue ( réelle ou complexe ).

[barbu23]

En effet, mais la topologie des espaces projectifs est métrisable. Donc ça a un sens. Par contre ton truc sur les cartes, j'y comprends rien.

Oui, il est métrisable. De quelle métrique on peut le munir ?

[barbu23]

Vous pouvez oublier ce que j'ai écrit ici :

Donc, Bref, on peut se permettre d'écrire ainsi :

avec : et sont les deux cartes locales standards de l'espace projectif en tant qu'espace d'arrivée.

car c'est faux. :happy3:

[SLA]

Oui, il est métrisable. De quelle métrique on peut le munir ?

Ta première phrase dit que tu sais que sa ropologie est induite par une métrique. Ensuite tu demandes la fameuse métrique. Sais-tu ce que veux dire métrisable?
Cordialement

[barbu23]

Ta première phrase dit que tu sais que sa ropologie est induite par une métrique. Ensuite tu demandes la fameuse métrique. Sais-tu ce que veux dire métrisable?
Cordialement

J'ai oublié ce que ça veut dire. Tu peux me l'expliquer ?
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Pour moi, un espace métrisable peut avoir plusieurs métriques qui définissent une même topologie à homéomorphisme près.
Par contre, un espace métrique est un espace qui a une topologie définit par une seule métrique.
Dans un espace métrisable, des mêmes propriétés peuvent différer en faisant varier la distance. Par contre ce problème ne se pose pas lorsqu'il y'a qu'une seule métrique ( le cas d'un espace métrique ). Et dans ce cas là, les propriétés sont toujours les mêmes en se référant à une seule métrique. :happy3:
Non ?

Edit : Donc, de ce fait, de quelles métriques respectives sont munies et normalement ?.
Merci d'avance.

[SLA]

Pour moi, un espace métrisable peut avoir plusieurs métriques qui définissent une même topologie à homéomorphisme près.

Qu'est-ce qu'une topologie définie à homéomorphisme près?

Par contre, un espace métrique est un espace qui a une topologie définit par une seule métrique.
Dans un espace métrisable, des mêmes propriétés peuvent différer en faisant varier la distance.

As-tu un exemple?
Qu'entraine cette remarque sur ton problème?

Par contre ce problème ne se pose pas lorsqu'il y'a qu'une seule métrique ( le cas d'un espace métrique ). Et dans ce cas là, les propriétés sont toujours les mêmes en se référant à une seule métrique . :happy3:
Non ?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Dis-tu que si on ne change pas de métrique, alors on ne change pas de métrique (voire topologie)?

Edit : Donc, de ce fait, de quelles métriques respectives sont munies et normalement ?.
Merci d'avance.

Comme je le disais avant: aucune. Je n'ai jamais vu de cas où l'on utilise la propriété de métrisabilité des espaces projectifs.

Pour finir: un espace topologique est métrisable si sa topologie est engendrée par (au moins) une métrique.

[barbu23]

Qu'est-ce qu'une topologie définie à homéomorphisme près?

As-tu un exemple?
Qu'entraine cette remarque sur ton problème?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Dis-tu que si on ne change pas de métrique, alors on ne change pas de métrique (voire topologie)?

Je te donne un exemple pour comprendre ce que je veux dire.
Par exemple, on fixe un espace métrique et on considère l'homothétie qui est un homéomorphisme définie par : , avec : et et : . a donc, la même topologie définie par et par homéomorphisme. et, par exemple, si on prend une partie bornée par par rapport à une valeur, peut ne pas l'être par ou inversement. Donc, cette propriété de bornitude par rapport à une valeur, diffère généralement d'une métrique à l'autre par homéomorphisme, non ?

[SLA]

Je te donne un exemple pour comprendre ce que je veux dire.
Par exemple, on fixe un espace métrique et on considère l'homothétie qui est un homéomorphisme définie par : , avec : et et : . a donc, la même topologie définie par et par homéomorphisme. et, par exemple, si on prend une partie bornée par par rapport à une valeur, peut ne pas l'être par ou inversement. Donc, cette propriété de bornitude diffère généralement d'une métrique à l'autre par homéomorphisme, non ? Bon, ce n'est pas notre sujet.

Je ne comprends vraiment rien à ce que tu racontes!
Tu fais des homothéties sur n'importe quel espace topologique?
d_1 est une métrique sur f(X) pas sur X.

si on prend une partie bornée par par rapport à une valeur, peut ne pas l'être par ou inversement . Est-ce grave si la valeur change?

Je crois que tu dois faire le tri dans ces notions...

[barbu23]

Je ne comprends vraiment rien à ce que tu racontes!
Tu fais des homothéties sur n'importe quel espace topologique?
d_1 est une métrique sur f(X) pas sur X.

si on prend une partie bornée par par rapport à une valeur, peut ne pas l'être par ou inversement . Est-ce grave si la valeur change?

Je crois que tu dois faire le tri dans ces notions...

est identique à par homéomorphisme ( C'est un plongement l'un sur l'autre ).
L'exemple de bornitude par rapport à une valeur illustre la manière qu'une propriété change en faisant varier les distances .

Edit : , car est surjective.

[SLA]

est identique à par homéomorphisme ( C'est un plongement l'un sur l'autre ).
L'exemple de bornitude par rapport à une valeur illustre la manière qu'une propriété change en faisant varier les distances .

Edit : , car est surjective.

Qui est X? Quelle métrique tu lui mets dessus? Comment peux-tu assurer que f est surjective?
Que veux dire que la propriété de bornitude change? Que borné pour l'un ne l'est pas pour l'autre? Ou que les diamètres ne sont pas les mêmes?
Sincèrement je ne comprends vraiment pas ce que tu cherches â nous raconter...

[Ben314]

...on fixe un espace métrique et on considère l'homothétie qui est un homéomorphisme définie par :

Tient, prenons un espace métrique au hasard, par exemple si on prend un échiquier muni de la distance "de centre à centre" (i.e. la distance entre deux cases est la distances euclidienne entre les centres des deux cases)
Sur cet exemple très simple, j'ai un tout petit peu de mal a voir ce que veut dire "une homothétie".
Si on prend pour x la case de départ du roi noir, c'est quelle case de l'échiquier la case 4x ?

[barbu23]

Ce n'est pas intéressant. En plus, ça fait longtemps que je n'ai pas fait de topologie. Je ne suis pas le mieux placé pour t'expliquer ça. :happy3:
Qu'est ce que ça veut dire que est bornée lorsque : , et pourquoi d'après Doraki, c'est super choquant de se laisser prendre par l'idée d'intégrer : ?.
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Qu'est ce que ça veut dire que est bornée lorsque :

Fastoche (et classique venant de toi) : ça ne veut rien dire.

, et pourquoi d'après Doraki, c'est super choquant de se laisser prendre par l'idée d'intégrer : ?

Parce que :
a) Tu intègre une fonction dont l'ensemble de départ n'est pas muni "canoniquement" d'une mesure (contrairement à R^n ou C^n qui est "canoniquement" muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue)
b) Tu intègre une fonction dont l'ensemble d'arrivé n'est pas un espace vectoriel, donc un ensemble dans lequel on ne peut même pas faire une bète addition et toi tu veut définir là dessus une notion d'intégrale (i.e. de grosse somme infinie).

Donc ç'est un truc qui ne veut doublement rien dire. (là, tu fait encore plus fort que d'habitude...)

[barbu23]

Non, lui, il a voulu dire autre chose, parce que, ce que tu dis s'appliquent également au cas réel : , et pas seulement au cas complexe :