Integrale d'une fonction

[SLA]

Merci BiancoAngelo. :happy3:

Est ce que quelqu'un peut m'indiquer un lien vers un support sur le net portant sur le calcul des distances sur des variétés ?

Merci d'avance. :happy3:

As-tu seulement regardé la bibliographie et les références de la page Wikipedia que tu cites? Je dis ça patce que sans me fouler, j'y ai trouvé la preuve de ce que j'avance (la distance que je t'ai donnée est bien une distance riemannienne , sauf que c'est fait sur la sphere, mais ça change absolument rien) et que tu refuses de chercher (pour les raisons qu'on connaît tous).
Cordialement

[barbu23]

où tu as trouvé cette preuve ? j'ai rien trouvé

[barbu23]

As-tu seulement regardé la bibliographie et les références de la page Wikipedia que tu cites? Je dis ça patce que sans me fouler, j'y ai trouvé la preuve de ce que j'avance (la distance que je t'ai donnée est bien une distance riemannienne , sauf que c'est fait sur la sphere, mais ça change absolument rien) et que tu refuses de chercher (pour les raisons qu'on connaît tous).
Cordialement

Encore une fois, tu n'as aucune intention de m'aider. Tu as introduit ta distance en étant une distance qui résulte d'une topologie abstraite, et la philosophie pédagogique consiste à passer par la notion de la notion de distance sur une variété si tu espères que ton intention soit finalement que je finis par comprendre. Cette introduction brutale d'une métrique topologique est complètement floue, et ne révèle aucunement que tu esperais passer par la distance Riemannienne. Ne prends pas pour un con, j'ai gardé le silence et la patience tout au long de ce fil en espérant que tu changes d'attitude, mais tu t'y tiens juste à te mesurer à moi, et me rabaisser et intimider indirectement.

[BiancoAngelo]

Dans la section "Longueur et distance" de http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne

Je trouve ce problème intéressant, mais il y a quand même beaucoup de notions à mettre en oeuvre.

En tout cas, vu que l'article parle de longueur de courbes pour distance riemannienne sur la variété, effectivement pour le cercle par exemple, il suffit de prendre la longueur d'arc entre les deux points...

La notion d'atlas vient du fait qu'il faut décrire la variété d'une façon qui va correspondre au problème . L'article wiki sur les variétés l'explique assez bien.

Pour un cercle, on a besoin d'au moins deux cartes, vu que le point de base n'appartient pas à la carte (en considérant la carte qui à partir de la base associe la pente de la droite entre la base (sur le cercle) et un point du cercle (autre que la base).

De même avec cette histoire de changement de cartes, c'est juste parce que les cartes se recouvrent à certains endroits (voire presque partout...). C'est pour donner un sens à tout ça, on peut concrétiser ça par un changement de coordonnées à chaque fois qui soit bien bijectif.

Effectivement encore dans le cas du cercle, si on veut une distance, vu ce qui est annoncé, faut utiliser les Arc... à écrire explicitement c'est pas forcément utile... Enfin, on peut dire que la distance entre A et A' est la différence entre la longueur d'arc de A à B et de A' à B, avec B un point quelconque du cercle. Avec un coup de valeur absolue, on a bien l'air de tomber sur une distance convenable sur le cercle.

Enfin, sans avoir "tout tout" lu, je pense que c'était bien la pensée de SLA de dire que sur le cercle, ça fonctionne bien.

[SLA]

Encore une fois, tu n'as aucune intention de m'aider. Tu as introduit ta distance en étant une distance qui résulte d'une topologie abstraite,

Non, cette distance est uniformément équivalente à celle induite par n'importe quelle norme, donc c'est la même topologie. Et elle est même super naturelle puisqu'elle mesure le chemin le plus court pour aller de u à v.

et la philosophie pédagogique consiste à passer par la notion de la notion de distance sur une variété

Non, on commence toujours par des cas plus sympas et on vérifie que ça colle avec les concepts généraux. C'est-à-dire que quand on croise une nouvelle définition/ ou nouvel objet, on cherche un exemple simple (ici le cercle unité). On travaille avec cet exemple simple et on fait ses armes avec.

si tu espères que ton intention soit finalement que je finis par comprendre. Cette introduction brutale d'une métrique topologique est complètement floue, et ne révèle aucunement que tu esperais passer par la distance Riemannienne.

Selon toi, je t'ai pondu une distance géodésique pour le fun?

Ne prends pas pour un con, j'ai gardé le silence et la patience tout au long de ce fil en espérant que tu changes d'attitude, mais tu t'y tiens juste à te mesurer à moi, et me rabaisser et intimider indirectement.

Je pense que depuis toutes ces années, tu devrais comprendre que ta manière de travailler n'est pas bonne. Tu ne disposes pas des bases et quand on t'apporte une piste à tes questions, tu changes de question (sans avoir répondu à la précédente).

Tu n'as même pas encore prouvé qu'une fonction localement bornée sur un compact est bornée! Depuis cette question, tu as parlé de:
- métrisabilité de P^1
-fonction bornée toujours intégrable
-intégrale de Riemann généralisée et valeur principale de Cauchy.
-métrique Riemannienne et distance Riemannienne.

Sois juste un peu raisonnable...

[SLA]

Dans la section "Longueur et distance" de http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne

Je trouve ce problème intéressant, mais il y a quand même beaucoup de notions à mettre en oeuvre.

En tout cas, vu que l'article parle de longueur de courbes pour distance riemannienne sur la variété, effectivement pour le cercle par exemple, il suffit de prendre la longueur d'arc entre les deux points...

La notion d'atlas vient du fait qu'il faut décrire la variété d'une façon qui va correspondre au problème . L'article wiki sur les variétés l'explique assez bien.

Pour un cercle, on a besoin d'au moins deux cartes, vu que le point de base n'appartient pas à la carte (en considérant la carte qui à partir de la base associe la pente de la droite entre la base (sur le cercle) et un point du cercle (autre que la base).

De même avec cette histoire de changement de cartes, c'est juste parce que les cartes se recouvrent à certains endroits (voire presque partout...). C'est pour donner un sens à tout ça, on peut concrétiser ça par un changement de coordonnées à chaque fois qui soit bien bijectif.

Effectivement encore dans le cas du cercle, si on veut une distance, vu ce qui est annoncé, faut utiliser les Arc... à écrire explicitement c'est pas forcément utile... Enfin, on peut dire que la distance entre A et A' est la différence entre la longueur d'arc de A à B et de A' à B, avec B un point quelconque du cercle. Avec un coup de valeur absolue, on a bien l'air de tomber sur une distance convenable sur le cercle.

Enfin, sans avoir "tout tout" lu, je pense que c'était bien la pensée de SLA de dire que sur le cercle, ça fonctionne bien.

Ben oui, le cercle c'est un objet plutot sympa. Il faut regarder ce que donnent les définitions de métrique Riemannienne pour le cercle et en arriver à la distance Riemannienne.
Sur le cercle les calculs se font bien, on peut faire un dessin et retomber sur l'intuition que l'on avait.
Sur des espaces généraux, il faut se farcir la recherche de géodésique et (en gros) faire du calcul différentiel en dimension infinie et ça c'est pas de la tarte.

[barbu23]

Dans la section "Longueur et distance" de http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne

Je trouve ce problème intéressant, mais il y a quand même beaucoup de notions à mettre en oeuvre.

En tout cas, vu que l'article parle de longueur de courbes pour distance riemannienne sur la variété, effectivement pour le cercle par exemple, il suffit de prendre la longueur d'arc entre les deux points...

La notion d'atlas vient du fait qu'il faut décrire la variété d'une façon qui va correspondre au problème . L'article wiki sur les variétés l'explique assez bien.

Pour un cercle, on a besoin d'au moins deux cartes, vu que le point de base n'appartient pas à la carte (en considérant la carte qui à partir de la base associe la pente de la droite entre la base (sur le cercle) et un point du cercle (autre que la base).

De même avec cette histoire de changement de cartes, c'est juste parce que les cartes se recouvrent à certains endroits (voire presque partout...). C'est pour donner un sens à tout ça, on peut concrétiser ça par un changement de coordonnées à chaque fois qui soit bien bijectif.

Effectivement encore dans le cas du cercle, si on veut une distance, vu ce qui est annoncé, faut utiliser les Arc... à écrire explicitement c'est pas forcément utile... Enfin, on peut dire que la distance entre A et A' est la différence entre la longueur d'arc de A à B et de A' à B, avec B un point quelconque du cercle. Avec un coup de valeur absolue, on a bien l'air de tomber sur une distance convenable sur le cercle.

Enfin, sans avoir "tout tout" lu, je pense que c'était bien la pensée de SLA de dire que sur le cercle, ça fonctionne bien.

Ce que je n'ai pas compris au début, est pour calculer la distance entre deux points de la variété pourquoi on est amené à calculer la distance des vecteurs tangents qui n'est autre que l'angle qui sépare les deux vecteurs lorsque le cercle est le cercle unité ?. Cette histoire au début était confuse, parce que, jusqu'en bas de la discussion, SLA disait que la métrique Riemanienne et cette métrique de SLA coincide.
Mais merci quant même, parce que tu es plus clair, car il s'agit tout simplement de calculer la longueur de l'arc. Moi, je cherchais à comprendre le contexte dans lequel se situent les propos tordus de SLA surtout lorsqu'il dit qu'il fat calculer la distance entre vecteurs. et à mon avis il n'existe pas de distance entre vecteurs à proprement parler, il y'a peut être distance entre classes d'équivalence de vecteurs dans un espace quotient, c'est plus facile à appréhender, mais distance entre deux vecteurs. Je ne comprends pas ce que ça veut dire.
Merci pour ces clarifications Bianco.

[barbu23]

Dans la section "Longueur et distance" de http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A9t%C3%A9_riemannienne

Je trouve ce problème intéressant, mais il y a quand même beaucoup de notions à mettre en oeuvre.

En tout cas, vu que l'article parle de longueur de courbes pour distance riemannienne sur la variété, effectivement pour le cercle par exemple, il suffit de prendre la longueur d'arc entre les deux points...

La notion d'atlas vient du fait qu'il faut décrire la variété d'une façon qui va correspondre au problème . L'article wiki sur les variétés l'explique assez bien.

Pour un cercle, on a besoin d'au moins deux cartes, vu que le point de base n'appartient pas à la carte (en considérant la carte qui à partir de la base associe la pente de la droite entre la base (sur le cercle) et un point du cercle (autre que la base).

De même avec cette histoire de changement de cartes, c'est juste parce que les cartes se recouvrent à certains endroits (voire presque partout...). C'est pour donner un sens à tout ça, on peut concrétiser ça par un changement de coordonnées à chaque fois qui soit bien bijectif.

Effectivement encore dans le cas du cercle, si on veut une distance, vu ce qui est annoncé, faut utiliser les Arc... à écrire explicitement c'est pas forcément utile... Enfin, on peut dire que la distance entre A et A' est la différence entre la longueur d'arc de A à B et de A' à B, avec B un point quelconque du cercle. Avec un coup de valeur absolue, on a bien l'air de tomber sur une distance convenable sur le cercle.

Enfin, sans avoir "tout tout" lu, je pense que c'était bien la pensée de SLA de dire que sur le cercle, ça fonctionne bien.

Et puis il faut comprendre ici que il vaut mieux l'appeler longueur au lieu de distance, parce que puis on calcule l'integrale, ça donne la longueur entre deux points de la variété. C'est une approche qui s'emploie en physique. En mathématiques, je ne sais pas si c'est une extension de cette approche, surtout par rapport à la métrique Riemmannienne.

[BiancoAngelo]

Ce que je n'ai pas compris au début, est pour calculer la distance entre deux points de la variété pourquoi on est amené à calculer la distance des vecteurs tangents qui n'est autre que l'angle qui sépare les deux vecteurs lorsque le cercle est le cercle unité ?. Cette histoire au début était confuse, parce que, jusqu'en bas de la discussion, SLA disait que la métrique Riemanienne et cette métrique de SLA coincide.
Mais merci quant même, parce que tu es plus clair, car il s'agit tout simplement de calculer la longueur de l'arc. Moi, je cherchais à comprendre le contexte dans lequel se situent les propos tordus de SLA surtout lorsqu'il dit qu'il fat calculer la distance entre vecteurs. et à mon avis il n'existe pas de distance entre vecteurs à proprement parler, il y'a peut être distance entre classes d'équivalence de vecteurs dans un espace quotient, c'est plus facile à appréhender, mais distance entre deux vecteurs. Je ne comprends pas ce que ça veut dire.
Merci pour ces clarifications Bianco.

De rien, mais ce que dit SLA n'est pas pour te nuire, s'il t'a posé la question, c'est peut-être justement pour que tu comprennes que la distance entre les vecteurs, ça fonctionne pas sur l'ensemble que tu avais choisi!
Car l'axiome de séparation pour définir la distance n'était plus valide.

[SLA]

[...]et à mon avis il n'existe pas de distance entre vecteurs à proprement parler , il y'a peut être distance entre classes d'équivalence de vecteurs dans un espace quotient, c'est plus facile à appréhender,

Encore une fois, c'est faux. Et ce ne sont pas les exemples qui manquent:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel_norm%C3%A9#Topologie_d.27un_sous-espace.2C_produit.2C_quotient

Peux-tu nous donner un exemple de ce que tu prétends être plus simple à appréhender?

mais distance entre deux vecteurs. Je ne comprends pas ce que ça veut dire.
[...]

Si tu avais cherché la définition de distance, tu aurais déjà vu la réponse. Tu es grand, tu sais chercher une définition sur wikipedia...

[BiancoAngelo]

Et pour conforter aussi l'idée de SLA, effectivement avant de penser intégrale comme tu le suggères, le fait de travailler sur le cercle unité permet de comprendre ce qu'on fait...

[SLA]

De rien, mais ce que dit SLA n'est pas pour te nuire, s'il t'a posé la question, c'est peut-être justement pour que tu comprennes que la distance entre les vecteurs, ça fonctionne pas !
Car l'axiome de séparation pour définir la distance n'était plus valide.

Je complète les propos de Bianco. L'application est bien une distance sur n'importe quel cercle, mais pas une distance sur R^2 entier, ni R^2 privé de 0.

Et effectivement, si je t'ai suggéré de calculer d(u,2u) c'est pour te rendre compte de ce dernier fait.

[barbu23]

Comment montrer que ta distance est une distance sur un cercle ?
Merci d'avance. :happy3:

[BiancoAngelo]

Comment montrer que ta distance est une distance sur un cercle ?
Merci d'avance. :happy3:

En montrant qu'elle vérifie les 3 axiomes d'une distance.

[barbu23]

En montrant qu'elle vérifie les 3 axiomes d'une distance.

Merci beaucoup.
Si est une distance de cercle, et et ne sont pas des vecteurs de , alors, et sont des vecteurs ou points du cercle ?
C'est quel géométrie ça ?
J'ai du mal à comprendre que les points d'un cercle sont des vecteurs.

[BiancoAngelo]

Merci beaucoup.
Si est une distance de cercle, et et ne sont pas des vecteurs de , alors, et sont des vecteurs ou points du cercle ?
C'est quel géométrie ça ?
J'ai du mal à comprendre que les points d'un cercle sont des vecteurs.

On assimile... Si point du cercle, on lui associe le vecteur , c'est le vecteur d'origine l'origine du repère.

[SLA]

En montrant qu'elle vérifie les 3 axiomes d'une distance.

Et il ne suffit pas de dire "oui, c'est bon" pour qu'on te croit. Montrer que d est une distance n'est pas trivial.

[barbu23]

On assimile... Si point du cercle, on lui associe le vecteur , c'est le vecteur d'origine l'origine du repère.

Bravo. Merci. :happy3:

[barbu23]

Est ce que l'espace des fonctions lisses à support compact contient des bijections ? Vous pouvez prendre le choix qui vous convient.
Merci d'avance.

[SLA]

Est ce que l'espace des fonctions lisses à support compact contient des bijections ? Vous pouvez prendre le choix qui vous convient.
Merci d'avance.

Voila ça illustre exactement ce que je disais. La dernière question n'est toujours pas résolue et on en a une nouvelle.
Par ailleurs, j'ai déjà dit qu'il nous faut les ensembles de départ et d'arrivée. Sans plus de précisons, la reponse est "des fois oui, des fois non".