Integrale d'une fonction

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Connaissez vous une méthode naturelle pour calculer les intégrales suivantes :
et

Je suis un peu faché avec les integrales surtout avec les intégrales impropres, car cela remonte à trop longtemps que je ne révises pas ce cours, alors soyez compréhensifs.

Je précise que : et

Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Est ce que est bornée sur et ?
Merci d'avance. :happy3:

[BiancoAngelo]

Est ce que est bornée sur et ?
Merci d'avance. :happy3:

C'est étrange cette histoire.
Rien que sur R*, cette fonction n'est pas bornée.

Donc la question que je me pose est : "Sur ton P1, il y a une norme spéciale ?"

[barbu23]

et sont des variétés ou plutôt des espaces topologiques ? et est à mon sens une fonction holomorphe ( resp. )
J'espère qu'il n'y'a pas de grosses bourdes dans ce que je dis. :happy3:
Donc, il n'y'a pas de norme sur ou sur : .

[BiancoAngelo]

Sans vérifier ce que tu annonces, si tu dis :

il n'y'a pas de norme sur ou sur .

Comment on peut parler de fonction bornée ?

[barbu23]

C'est ce que je cherche à comprendre. :we:

[barbu23]

Voici ce qui me laisse dire ça : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,591018,591123

[BiancoAngelo]

C'est ce que je cherche à comprendre. :we:

A mon tour, en espérant ne pas dire de bêtises.
Tu penses qu'elle est holomorphe, mais la définition Wiki me rappelle que :
"En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe ."

Définie : déjà, pour z = 0, j'ai un doute :ptdr:

[BiancoAngelo]

Je ne vois pas le rapport avec ta fonction, en plus dans l'article, on est sur des compacts, c'est pas le cas de ton truc, si ?

Je ne vois pas du tout ce que tes intégrales signifient...

[barbu23]

Oui, mais si tu te mets à lire le bouquin que je suis entrain de lire, tu changeras complètement d'avis sur ce sujet. :we:
Le livre s'appelle : Riemann Surfaces de son auteur Otto Forster.
Parmi ce qui se dit dans ce livre à la page : et ( si j'ai bien compris les choses ) les fonctions méromorphes s'identifient au fonctions holomorphes , avec : une surface de Riemann. :happy3:
est évidemment une surface de Riemann par quasi-définition.
Bon, il te faudra du temps pour digérer tout ça. :happy3:
Donc, tu ne peux pas m'aider sur ce problème en ce temps.

[BiancoAngelo]

Oui, mais si tu te mets à lire le bouquin que je suis entrain de faire, tu changeras complètement d'avis sur ce sujet. :we:
Le livre s'appelle : Riemann Surfaces de son auteur Otto Forster.
Parmi ce qui se dit dans ce livre à la page : et ( si j'ai bien compris les choses ) les fonctions méromorphes s'identifient au fonctions holomorphes , avec : une surface de Riemann. :happy3:
est évidemment une surface de Riemann par quasi-définition.
Bon, il te faudra du temps pour digérer tout ça. :happy3:
Donc, tu ne peux pas m'aider sur ce problème en ce temps.

Non, désolé, en tout cas, pas ce soir :dodo:
Le truc, c'est que n'ayant pas la définition propre de ce qu'on fait, c'est forcément compliqué pour moi de te donner un coup de main (car si j'ai les choses décrites, je peux aller chercher...).

[barbu23]

Non, désolé, en tout cas, pas ce soir :dodo:
Le truc, c'est que n'ayant pas la définition propre de ce qu'on fait, c'est forcément compliqué pour moi de te donner un coup de main (car si j'ai les choses décrites, je peux aller chercher...).

C'est trop long à expliquer, à peu près ou pages. ( Tout le début du livre ). Pas facile à écrire d'un seul coup, c'est fatiguant.

[BiancoAngelo]

C'est trop long à expliquer, à peu près ou pages. ( Tout le début du livre ). Pas facile à écrire d'un seul coup, c'est fatiguant.

Pas de souci, ne t'inquiète pas.

On parle donc de ça :

La plus simple des surfaces de Riemann compactes est la sphère de Riemann, conformément équivalente à la droite projective complexe , quotient de par l'action (holomorphe) du groupe par multiplication Sa topologie est celle du compactifié d'Alexandroff du plan complexe, à savoir Elle est recouverte par deux cartes holomorphes, définies respectivement sur et : l'identité et l'inversion

(Source Wiki)

[BiancoAngelo]

Du coup, là, ça prend un sens, vu que le point à l'infini existe (c'est pour ça qu'on utilise la sphère de Riemann) !

[barbu23]

Oui, tu commences à comprendre. :lol3:
Donc, on parle de variété, c'est à dire, un truc qu'on manipule localement, mais qui est difficile à manipuler globalement. C'est pourquoi, j'ai parlé de fonction localement bornée évoqué dans le lien que je t'ai inséré plus haut, et est compact. Donc, finalement, j'ai tendance à dire que est bornée ( parce que localement bornée sur des cartes + définie sur un compact ), mais je ne sais pas si c'est correct comme raisonnement, ou je divague tout simplement. :mur:

[BiancoAngelo]

Oui, tu commences à comprendre. :lol3:
Donc, on parle de variété, c'est à dire, un truc qu'on manipule localement, mais qui est difficile à manipuler globalement. C'est pourquoi, j'ai parlé de fonction localement bornée évoqué dans le lien que je t'ai inséré plus haut, et est compact. Donc, finalement, j'ai tendance à dire que est bornée ( parce que localement bornée sur des cartes + définie sur un compact ), mais je ne sais pas si c'est correct comme raisonnement, ou je divague tout simplement. :mur:

Hmpf, ok.

Pour ma part, je me dis maintenant que ces intégrales ne sont pas si difficiles, car je dirais bien que :

Vu qu'on est sur , la fonction est une bijection de cet ensemble vers cet ensemble, en considérant que l'image de 0 est le point à l'infini.

Donc finalement, cet intégrale revient à faire le périmètre du cercle unité vu qu'on prend "tous les projetés sur ce cercle", à savoir 2Pi.
Et sur C, à faire la surface de la sphère, 4Pi donc.

Est-ce que ça te semble cohérent ?

[barbu23]

Hmpf, ok.

Pour ma part, je me dis maintenant que ces intégrales ne sont pas si difficiles, car je dirais bien que :

Vu qu'on est sur , la fonction est une bijection de cet ensemble vers cet ensemble, en considérant que l'image de 0 est le point à l'infini.

Donc finalement, cet intégrale revient à faire le périmètre du cercle unité vu qu'on prend "tous les projetés sur ce cercle", à savoir 2Pi.
Et sur C, à faire la surface de la sphère, 4Pi donc.

Est-ce que ça te semble cohérent ?

Voiçi ce que j'ai répondu sur un autre forum ( pour faire court )

Je définie l'intégrale en considérant les deux cartes de l'Atlas standard de ou de , et donc, cette intégrale n'est autre que l'intégrale standard qu'on définit sur une variété quelconque. Ici, la variété est ou de . Pour calculer l’intégrale sur tout l'espace projectif, je pense qu'il faut utiliser une partition de l'unité composée de ces deux cartes, non ? Je n'ai jamais fait de calcul d’intégrale sur une variété pour être claire.

Merci d'avance pour votre aide.

[BiancoAngelo]

Hmpf, ok.

Pour ma part, je me dis maintenant que ces intégrales ne sont pas si difficiles, car je dirais bien que :

Vu qu'on est sur , la fonction est une bijection de cet ensemble vers cet ensemble, en considérant que l'image de 0 est le point à l'infini.

Donc finalement, cet intégrale revient à faire le périmètre du cercle unité vu qu'on prend "tous les projetés sur ce cercle", à savoir 2Pi.
Et sur C, à faire la surface de la sphère, 4Pi donc.

Est-ce que ça te semble cohérent ?

Ou alors, c'est peut-être plutôt avec le cercle unité.

[Ben314]

...cet intégrale revient à...

Moi, ce que je pense qui ne serait pas con, c'est de commencer par avoir une définition de ce que l'on entend par "intégrale sur P1(R) d'une fonction" (ça, on peut encore en inventer une), mais surtout, ce qu'on entend par "intégrale d'une fonction a valeur dans P1(R)" (là, ça va être nettement plus chaud à inventer comme notion... )

C'est un peu comme quelqu'un qui parlerait d'une fonction bornée (ou localement bornée) alors que la fonction n'atterrit pas dans un espace naturellement muni d'une structure métrique... :mur:

[barbu23]

Ou alors, c'est peut-être plutôt avec le cercle unité.

Oui, c'est assez intuitif ça me semble, mais je ne sais pas quel théorème tu utilises là ?
Est ce que de manière générale : lorsque et sont au moins homéomorphes ? mais, c'est quel théorème ? tu peux m'indiquer ça sur le net ?
Merci d'avance. :happy3: