Bonjours,
J'ai une difficulté de calcul l'intégrale une fonction sur une cercle d'origine O(0,0) et du rayon R. M(a,b) est une point quelconques dans cette cercle.
La fonction:f(x,y)= sqrt(R^2-x^2-y^2)*(x-a)/(sqrt((x-a)^2+(x-b)^2))^3
Pourriez vous m'aider ou me donner des suggestions.
Bon weekend
Integrale
40 messages
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par Nightmare » 23 Jan 2010, 15:33
Salut,
Ca sent à 10km le passage en polaire ! Maintenant je sais pas si ça abouti, la forme semble quand même peu sympathique.
Ca sent à 10km le passage en polaire ! Maintenant je sais pas si ça abouti, la forme semble quand même peu sympathique.
par MSROE » 23 Jan 2010, 18:11
Moi aussi, j'ai utilisé aussi le repère polaire mais ca n'arrive pas encore
par JeanJ » 23 Jan 2010, 18:22
salut MSROE,
je dis bizarre, bizarre ...
En effet, si on intègre le long du cercle de rayon R et de centre (0,0), on a :
R²-x²-y² = 0 pour le point courant (x,y). On intègre donc f(x,y)=0.
L'intégrale DEFINIE d'une fonction nule est nulle (sauf discountinuité).
Un peu trivial semble-t-il ?
L'énoncé de la question est-il correct ?
Si oui, il faudrait regarder de plus près ce qui se passe au voisinage du point (a,b)
je dis bizarre, bizarre ...
En effet, si on intègre le long du cercle de rayon R et de centre (0,0), on a :
R²-x²-y² = 0 pour le point courant (x,y). On intègre donc f(x,y)=0.
L'intégrale DEFINIE d'une fonction nule est nulle (sauf discountinuité).
Un peu trivial semble-t-il ?
L'énoncé de la question est-il correct ?
Si oui, il faudrait regarder de plus près ce qui se passe au voisinage du point (a,b)
par JeanJ » 23 Jan 2010, 18:36
Au fait, est-ce que l'intégration dont tu parles est :
" sur le cercle " comme tu l'as écrit,
ou " sur le disque " ?
Ce n'est pas pareil. Je comprendrais mieux si c'était "sur le disque".
A clarifier ...
" sur le cercle " comme tu l'as écrit,
ou " sur le disque " ?
Ce n'est pas pareil. Je comprendrais mieux si c'était "sur le disque".
A clarifier ...
par MSROE » 24 Jan 2010, 09:21
Je suis désolé.
C'est l'intégrale de f(x,y) sur la disque (O,R) avec (a,b) est un point quelconques dans cette disque.
C'est l'intégrale de f(x,y) sur la disque (O,R) avec (a,b) est un point quelconques dans cette disque.
par Ben314 » 24 Jan 2010, 10:30
Salut,
Tout d'abord, une autre question concernant l'énoncé :
La fonction est-elle sqrt(R^2-x^2-y^2)*(x-a)/(sqrt((x-a)^2+(x-b)^2))^3 ou bien sqrt(R^2-x^2-y^2)*(x-a)/(sqrt((x-a)^2+(y-b)^2))^3 [qui parrait plus "homogène"]
Le plus "probable" me semble être la fonction sqrt(R^2-x^2-y^2)*(x-a)/(sqrt((x-a)^2+(y-b)^2))^3, sauf que, dans ce cas, il me semble que la fonction n'est pas intégrable au voisinage de (a,b)...
Tout d'abord, une autre question concernant l'énoncé :
La fonction est-elle sqrt(R^2-x^2-y^2)*(x-a)/(sqrt((x-a)^2+(x-b)^2))^3 ou bien sqrt(R^2-x^2-y^2)*(x-a)/(sqrt((x-a)^2+(y-b)^2))^3 [qui parrait plus "homogène"]
Le plus "probable" me semble être la fonction sqrt(R^2-x^2-y^2)*(x-a)/(sqrt((x-a)^2+(y-b)^2))^3, sauf que, dans ce cas, il me semble que la fonction n'est pas intégrable au voisinage de (a,b)...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par MSROE » 24 Jan 2010, 11:01
La fonction:
f(x,y) =
(x-a)*sqrt(R^2 - x^2 - y^2)
---------------------------
((x-a)^2 + (y-b)^2))^(1,5)
La fonction f(x,y) est intégrable sur la disque (O,R) parce que la fonction sqrt(R^2 - x^2 - y^2) peut être régularisé
f(x,y) =
(x-a)*sqrt(R^2 - x^2 - y^2)
---------------------------
((x-a)^2 + (y-b)^2))^(1,5)
La fonction f(x,y) est intégrable sur la disque (O,R) parce que la fonction sqrt(R^2 - x^2 - y^2) peut être régularisé
par Ben314 » 24 Jan 2010, 11:29
Je ne comprend rien à ton argument.... (qu'appelle tu régularisé ???)MSROE a écrit:La fonction:
f(x,y) =
(x-a)*sqrt(R^2 - x^2 - y^2)
---------------------------
((x-a)^2 + (y-b)^2))^(1,5)
La fonction f(x,y) est intégrable sur la disque (O,R) parce que la fonction sqrt(R^2 - x^2 - y^2) peut être régularisé
Par contre, essaye le changement de variable
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par MSROE » 24 Jan 2010, 11:50
La concept "régularisation" ici, ca veut dire:
sqrt(R^2 - x^2 - y^2) = (sqrt(R^2 - x^2 - y^2) - sqrt(R^2 - a^2 - b^2)) + sqrt(R^2 - a^2 - b^2)
f(x,y) = f1(x,y) + f2(x,y)
f2(x,y) =
(x-a)*sqrt(R^2 - x^a - y^a)
---------------------------
((x-a)^2 + (y-b)^2))^(1,5)
On note sqrt(R^2 - a^2 - b^2) = cte
On voit bien que l'intégrale de f2(x,y) = 0 quand on passe au repère polaire
Par contre f1(x,y) n'est pas singulière au point (a,b)
sqrt(R^2 - x^2 - y^2) = (sqrt(R^2 - x^2 - y^2) - sqrt(R^2 - a^2 - b^2)) + sqrt(R^2 - a^2 - b^2)
f(x,y) = f1(x,y) + f2(x,y)
f2(x,y) =
(x-a)*sqrt(R^2 - x^a - y^a)
---------------------------
((x-a)^2 + (y-b)^2))^(1,5)
On note sqrt(R^2 - a^2 - b^2) = cte
On voit bien que l'intégrale de f2(x,y) = 0 quand on passe au repère polaire
Par contre f1(x,y) n'est pas singulière au point (a,b)
par Ben314 » 24 Jan 2010, 11:56
Ca m'étonerait fortement, vu que cette intégrale est... divergente.MSROE a écrit:On voit bien que l'intégrale de f2(x,y) = 0 quand on passe au repère polaire
Croit tu par exemple que l'intégrale de -1 à 1 de 1/x soit nulle ?
EDIT : de plus, même si l'intégrale était convergente, je ne vois aucune raison qu'elle soit nulle : le point (a,b) n'est pas le centre du disque D((0,0),R)....
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par JeanJ » 24 Jan 2010, 13:36
Ca m'étonerait fortement, vu que cette intégrale est... divergente.
C'est bien mon avis.
Néanmoins, il faudrait vérifier si elle ne peut pas avoir un sens en tant qu'intégrale de Cauchy. A permière vue j'en doute, mais ce serait à étudier plus sérieusement.
Je conseillerais de faire une étude de convergence en simplifiant le problème : passage en coordonnées polaires avec le point (a,b) pour centre et étude de l'intégrabilité dans un disque de petit diamètre centré sur (a,b). La prise en compte du terme sqrt(R²-x²-y²) est essentielle dans cette étude : on ne peut pas se contenter de l'approximer par sqrt(R²-a²-b²) car c'est dans la différence (bien que tendant vers 0) entre ces termes que se joue la convergence ou non au sens de Cauchy.
Désolé, je n'ai pas le temps actuellement de regarder cela de plus près.
Bon travail
par MSROE » 25 Jan 2010, 08:48
Je suis désolé, l'intégrale de f2(x,y) n'est pas nulle mais il est convergente.
Essayons de prendre une petite cercle (0,R-R0) (R0=sqrt(a^2+b^2)
En passant le repère polaire, nous trouvons le développement suivant:
(je note: int = intégrale sur la cercle)
int(f2(x,y)dxdy) = sqrt(R^2-a^2-b2)*int((r*cos(theta)/r^3)r*dr*d(theta); r=0..R-R0; theta=0..2*Pi) =
= sqrt(R^2-a^2-b2)* int((cos(theta)/r)drd(theta); r = 0..R-R0, theta= 0..2Pi) =
= sqrt(R^2-a^2-b2)*int(cos(theta)d(theta); theta=0..2*Pi)*int((1/r)dr,r=0..R-R0) = 0
(int(cos(theta)d(theta); theta=0..2*Pi)=0
On peut déduit que l'intégrale de f2 est convergent si (x,y) --> (a,b)
Essayons de prendre une petite cercle (0,R-R0) (R0=sqrt(a^2+b^2)
En passant le repère polaire, nous trouvons le développement suivant:
(je note: int = intégrale sur la cercle)
int(f2(x,y)dxdy) = sqrt(R^2-a^2-b2)*int((r*cos(theta)/r^3)r*dr*d(theta); r=0..R-R0; theta=0..2*Pi) =
= sqrt(R^2-a^2-b2)* int((cos(theta)/r)drd(theta); r = 0..R-R0, theta= 0..2Pi) =
= sqrt(R^2-a^2-b2)*int(cos(theta)d(theta); theta=0..2*Pi)*int((1/r)dr,r=0..R-R0) = 0
(int(cos(theta)d(theta); theta=0..2*Pi)=0
On peut déduit que l'intégrale de f2 est convergent si (x,y) --> (a,b)
par JeanJ » 25 Jan 2010, 09:16
Bonjour,
Après un examen un peu plus attentif, je dois revenir sur ce que j'avais écrit hâtivement dans mon post précédent.
En effet, bien que l'intégrale soit impropre, néanmoins elle est intégrable au sens de Cauchy (en valeur principale)
En première approximation, la valeur de cette intégrale ne dépendrait pas de b, mais seulement de a, selon une formule très simple : -(a/2)*(pi)²
Etant sur le point de partir pour plusieurs jours, je n'ai pas le temps de faire une étude plus complète, ni de dactylographier complètement les développements assez ardus. Néanmoins, voici la méthode suivie, ce qui devrait vous permettre de vérifier :
(je passe sur l'étude préliminaire de convergence au sens de Cauchy)
Considérons l'intégrale double suivante :
f(a,b,R) = Intégrales de (Sqrt(R²-x²-y²)/Sqrt((x-a)²+(y-b)²))*dx*dy sur le disque de rayon R.
Ceci parce qu'elle est plus aisée à traiter que l'intégrale initialement recherchée et que la dérivée partielle de f(a,b,R) relativement à (a) donne cette intégrale initiale.
On passe en polaire (r,w) de centre (0,0) avec x=r*cos(w) et y=r*sin(w)
Les coordonnées polaires du point singulier (a,b) sont notées (c,v) donc a=c*cos(v) et b=c*sin(v)
Ceci conduit à :
f(a,b,R) = Intégrales de (Sqrt(R²-r²)/Sqrt(r²+c²-4cos(w-v))*r*dr*dw pour 0
K(p) le symbole de l'intégrale elliptique complète de première espèce.
(il existe dans la littérature une autre notation : K(m) avec m=p² )
Il s'agit ensuite de calculer l'intégrale suivante, ce qui est la partie la plus ardue :
f(a,b,R)=Intégrale(Sqrt(R²-r²)*4*(r/(r+c))*K(p)*dr) pour 0
f(a,b,R) = ((pi*R)²/2)*(1-(c/R)²/2+O((c/R)^4))
Il est possible que le terme O((c/R)^4) et les termes suivants n'existent pas, mais je ne peux pas l'affirmer dans l'état actuel du calcul, ce qui donnerait la formule très simple :
f(a,b,R) = ((pi)²/2)*(R²-(a²+b²)/2)
La dérivation partielle par rapport à (a) donne -(a/2)*(pi)² qui serait donc la valeur principale de l'intégrale double que MSROE souhaite calculer.
J'espère qu'à mon retour, d'ici une dizaine de jours, je pourai voir sur le forum la solution complète qui aura été correctement démontrée.
Remarque tardive : je viens de m'apercevoir que, pour intéger :
f(a,b,R) = Intégrales de (Sqrt(R²-r²)/Sqrt(r²+c²-4cos(w-v))*r*dr*dw pour 0
Après un examen un peu plus attentif, je dois revenir sur ce que j'avais écrit hâtivement dans mon post précédent.
En effet, bien que l'intégrale soit impropre, néanmoins elle est intégrable au sens de Cauchy (en valeur principale)
En première approximation, la valeur de cette intégrale ne dépendrait pas de b, mais seulement de a, selon une formule très simple : -(a/2)*(pi)²
Etant sur le point de partir pour plusieurs jours, je n'ai pas le temps de faire une étude plus complète, ni de dactylographier complètement les développements assez ardus. Néanmoins, voici la méthode suivie, ce qui devrait vous permettre de vérifier :
(je passe sur l'étude préliminaire de convergence au sens de Cauchy)
Considérons l'intégrale double suivante :
f(a,b,R) = Intégrales de (Sqrt(R²-x²-y²)/Sqrt((x-a)²+(y-b)²))*dx*dy sur le disque de rayon R.
Ceci parce qu'elle est plus aisée à traiter que l'intégrale initialement recherchée et que la dérivée partielle de f(a,b,R) relativement à (a) donne cette intégrale initiale.
On passe en polaire (r,w) de centre (0,0) avec x=r*cos(w) et y=r*sin(w)
Les coordonnées polaires du point singulier (a,b) sont notées (c,v) donc a=c*cos(v) et b=c*sin(v)
Ceci conduit à :
f(a,b,R) = Intégrales de (Sqrt(R²-r²)/Sqrt(r²+c²-4cos(w-v))*r*dr*dw pour 0
K(p) le symbole de l'intégrale elliptique complète de première espèce.
(il existe dans la littérature une autre notation : K(m) avec m=p² )
Il s'agit ensuite de calculer l'intégrale suivante, ce qui est la partie la plus ardue :
f(a,b,R)=Intégrale(Sqrt(R²-r²)*4*(r/(r+c))*K(p)*dr) pour 0
f(a,b,R) = ((pi*R)²/2)*(1-(c/R)²/2+O((c/R)^4))
Il est possible que le terme O((c/R)^4) et les termes suivants n'existent pas, mais je ne peux pas l'affirmer dans l'état actuel du calcul, ce qui donnerait la formule très simple :
f(a,b,R) = ((pi)²/2)*(R²-(a²+b²)/2)
La dérivation partielle par rapport à (a) donne -(a/2)*(pi)² qui serait donc la valeur principale de l'intégrale double que MSROE souhaite calculer.
J'espère qu'à mon retour, d'ici une dizaine de jours, je pourai voir sur le forum la solution complète qui aura été correctement démontrée.
Remarque tardive : je viens de m'apercevoir que, pour intéger :
f(a,b,R) = Intégrales de (Sqrt(R²-r²)/Sqrt(r²+c²-4cos(w-v))*r*dr*dw pour 0
par Ben314 » 25 Jan 2010, 10:41
Salut JeanJ,
La petite question qui me tarabusque, c'est est-ce que MSROE sait ce que veut dire l'expression "intégrable en valeur principale" ???
(je n'en suis pas persuadé, et dans le cas contraire, j'ai un peu peur que cela ne l'embrouille...)
La petite question qui me tarabusque, c'est est-ce que MSROE sait ce que veut dire l'expression "intégrable en valeur principale" ???
(je n'en suis pas persuadé, et dans le cas contraire, j'ai un peu peur que cela ne l'embrouille...)
Tient, c'est bizare, perso, il me semblait bien que 1/r, c'était pas trop intégrable au voisinage de 0...MSROE a écrit:...= sqrt(R^2-a^2-b2)* int((cos(theta) /r ) dr d(theta); r = 0..R-R0, theta= 0..2Pi)
=...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par MSROE » 25 Jan 2010, 10:58
JeanJ a écrit:Ceci conduit à :
f(a,b,R) = Intégrales de (Sqrt(R²-r²)/Sqrt(r²+c²-4cos(w-v))*r*dr*dw pour 0<w<2pi et 0<r<R
Je suis désolé mais je ne comprends pas encore comment vous pouvez trouver cette expression de f(a,b,R)
Et pourquoi par:
f(a,b,R) = Intégrales de (Sqrt(R²-r²)/Sqrt(r²+c²-2rccos(w-v))*r*dr*dw pour 0<w<2pi et 0<r<R
Pourriez vous m'expliquer?
par Ben314 » 25 Jan 2010, 11:06
QUESTION 1 (6 posts plus haut) Que pense tu de l'intégrale de -1 à 1 de 1/x dx ?
QUESTION 2 (2 posts plus haut) Sais tu ce qu'est le calcul d'une intégrale "en valeur principale"
QUESTION 3 (2 posts plus haut) Comment explique tu que tu trouve une valeur à une intégrale en 1/r dr avec r proche de 0
P.S. : ça serait sympa de ta part de lire les posts que l'on t'envoie et d'essayer de répondre aux question que l'on te pose avant de reposer de nouvelles questions... :doh:
QUESTION 2 (2 posts plus haut) Sais tu ce qu'est le calcul d'une intégrale "en valeur principale"
QUESTION 3 (2 posts plus haut) Comment explique tu que tu trouve une valeur à une intégrale en 1/r dr avec r proche de 0
P.S. : ça serait sympa de ta part de lire les posts que l'on t'envoie et d'essayer de répondre aux question que l'on te pose avant de reposer de nouvelles questions... :doh:
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par MSROE » 25 Jan 2010, 13:30
Question 1 --> Reponse
On note "epsilon" = "eps"
intégrale (1/x)dx pour x=-1,1 = int((1/x)dx, x=-1..1) =lim( int((1/x)dx,x=-1.. -eps)+ int((1/x)dx,x=eps..1)) quand eps --> 0
=ln(abs(-eps/(-1))+ln(1/eps)=ln(eps/1)+ln(1/eps)=ln(eps)-ln(1)+ln(1)+ln(eps)=0
Question 2 --> Reponse
http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/exposes/integral/intimpro.htm
Pourriez vous lire cette article, ca sera plus facile de comprendre que mes explications.
Question 3 --> Reponse
Intégrale (1/r*cos(theta)dr*d(theta)) pour r=0..R-R0, theta=0..2Pi)=
Int(cos(theta)d(theta), theta=0..2Pi)* Int(1/rdr,r=0..R-R0)
Voyons que Int(cos(theta)*d(theta),theta=0..2Pi)=0
et on ne dois pas fait attention à la reste Int(1/rdr,r=0..R-R0).
En effet, la question 3 et 1 est la même mais la différence est la dimension. Question 1 pour la dimension 1 et question 3 pour la dimension 2
Si vous avez une doute. Pourriez vous tracer la fonction (1/r)*cos(theta) dans le repère polaire et vous voyez bien que l'intégrale sur la surface d'une cercle quelconques est nulle.
On note "epsilon" = "eps"
intégrale (1/x)dx pour x=-1,1 = int((1/x)dx, x=-1..1) =lim( int((1/x)dx,x=-1.. -eps)+ int((1/x)dx,x=eps..1)) quand eps --> 0
=ln(abs(-eps/(-1))+ln(1/eps)=ln(eps/1)+ln(1/eps)=ln(eps)-ln(1)+ln(1)+ln(eps)=0
Question 2 --> Reponse
http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/exposes/integral/intimpro.htm
Pourriez vous lire cette article, ca sera plus facile de comprendre que mes explications.
Question 3 --> Reponse
Intégrale (1/r*cos(theta)dr*d(theta)) pour r=0..R-R0, theta=0..2Pi)=
Int(cos(theta)d(theta), theta=0..2Pi)* Int(1/rdr,r=0..R-R0)
Voyons que Int(cos(theta)*d(theta),theta=0..2Pi)=0
et on ne dois pas fait attention à la reste Int(1/rdr,r=0..R-R0).
En effet, la question 3 et 1 est la même mais la différence est la dimension. Question 1 pour la dimension 1 et question 3 pour la dimension 2
Si vous avez une doute. Pourriez vous tracer la fonction (1/r)*cos(theta) dans le repère polaire et vous voyez bien que l'intégrale sur la surface d'une cercle quelconques est nulle.
par Ben314 » 25 Jan 2010, 14:42
OkOk, je note quand même (tiré de ton texte) que :
"Nous remarquons que la valeur principale peut exister sans que l'intégrale converge" (c'est le cas ici : l'intégrale est divergente)
Je note aussi que ton texte ne parle pas de valeur principale dans le cas d'intégrales multiples. Connait tu la définition de la valeur principale dans ce cas ?
Si tu maitrise bien cette définition et que c'est bien la valeur principale que tu cherche (et pas la valeur de l'intégrale comme j'avais cru le comprendre) , on pourra attaquer une explication sur le post de JeanJ.
"Nous remarquons que la valeur principale peut exister sans que l'intégrale converge" (c'est le cas ici : l'intégrale est divergente)
Je note aussi que ton texte ne parle pas de valeur principale dans le cas d'intégrales multiples. Connait tu la définition de la valeur principale dans ce cas ?
Si tu maitrise bien cette définition et que c'est bien la valeur principale que tu cherche (et pas la valeur de l'intégrale comme j'avais cru le comprendre) , on pourra attaquer une explication sur le post de JeanJ.
Sauf que ça ne prouve nulement que l'intégrale est convergente (et pour cause !!!), mais seulement que l'on peut définir sa valeur principale...MSROE a écrit:Si vous avez une doute. Pourriez vous tracer la fonction (1/r)*cos(theta) dans le repère polaire et vous voyez bien que l'intégrale sur la surface d'une cercle quelconques est nulle.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par MSROE » 25 Jan 2010, 19:52
Salut Ben314,
Je ne suis pas professionnel dans le domaine de maths. Mais j'aimerais bien la maths. Pourriez vous m'aider à expliquer plus clairement ce problème.
Je vous remercie d'avance.
Je ne suis pas professionnel dans le domaine de maths. Mais j'aimerais bien la maths. Pourriez vous m'aider à expliquer plus clairement ce problème.
Je vous remercie d'avance.
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