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mathelot
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intégrale

par mathelot » 27 Aoû 2009, 21:47

bonjour,

ça vous tente



?



euler21
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par euler21 » 27 Aoû 2009, 21:51

bonsoir,
euh l'intégrale est sur quel domaine ??

Clembou
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par Clembou » 27 Aoû 2009, 21:55

On peut utiliser le théorème des résidus ??

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mathelot
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par mathelot » 27 Aoû 2009, 22:13

re,

pas de domaine
on peut tout utiliser

girdav
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par girdav » 27 Aoû 2009, 22:14

Bizarre, cette intégrale me dit quelque chose. Il me semble l'avoir rencontrée il y a quelque mois sur l'île des mathématiques, mais de là à retrouver le topic.

Nightmare
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par Nightmare » 28 Aoû 2009, 01:26

Salut!

Tu as le résultat? Avant de me lancer dans les calculs j'aime savoir si ce n'est pas en vain, mon logiciel ne me semble pas capable d'exprimer les primitives, la question est donc de savoir si on peut le faire...

_-Gaara-_
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par _-Gaara-_ » 28 Aoû 2009, 01:41

Salut,

oui c'est faisable et le résultat tiens sur 2 pages =)

:/

:dodo:

si le résultat intéresse quelqu'un ...........

Nightmare
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par Nightmare » 28 Aoû 2009, 01:47

Bon il est un peu tard pour effectuer les calculs mais le dénominateur vaut -(sin x - 2)^2 ca peut servir. Je continue demain. Bonne nuit à tous.

_-Gaara-_
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par _-Gaara-_ » 28 Aoû 2009, 01:52

-(sin(x) - 2 - rac(10))(sin(x) - 2 + rac(10) ) :++:
Bonne nuit ;)

Black Jack

par Black Jack » 28 Aoû 2009, 10:10

On peut ramener l'expression à la somme de fonctions rationnelles qu'il est alors facile (mais long et ennuyeux) de traiter.

Poser tg(x/2) = t

sin(x) = 2t/(1+t²)
cos(x) = (1-t²)/(1+t²)
dx = 2 dt/(1+t²)

5+4sin(x)+cos²(x)
= 5 + 8t/(1+t²) + (1-t²)²/(1+t²)²
= (5(1+t²)² + 8t.(1+t²) + (1-t²)²]/(1+t²)²
= (5+5t^4+10t² + 8t+8t³ + 1+t^4-2t²]/(1+t²)²
= (6t^4+8*t³+8t²+8t+6)/(1+t²)²

sin³(x)/(5+4sin(x)+cos²(x))
= [8t³/(1+t²)³] * (1+t²)²/(6t^4+8*t³+8t²+8t+6)
= 8t³/[(1+t²).(6t^4+8*t³+8t²+8t+6)]

sin³(x)/(5+4sin(x)+cos²(x)) dt
= 8t³/[(1+t²).(6t^4+8*t³+8t²+8t+6)] * 2 dt/(1+t²)
= 16t³/[(6t^4+8*t³+8t²+8t+6)((1+t²)²] dt
= 8t³/[(1+t²)².(3t^4+4*t³+4t²+4t+3)] dt (1)

(3t^4+4*t³+4t²+4t+3) a 2 fois 2 racines complexes conjuguées qu'on peut trouver en posant t + 1/t = T puisque les coefficients du polynome du 4ème degré sont palindromes ...

Commence alors la partie classique et facile mais longue et ennuyeuse pour ramener l'expression (1) à la somme de fonctions rationnelles.

Poursuit dans cette voie (qui est sûre d'aboutir) qui en a le courage, pas moi.
***********
Il y a sans aucun doute d'autres méthodes.

:zen:

girdav
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par girdav » 28 Aoû 2009, 10:30

Je pense qu'il peut-être plus rapide de décomposer en élément simples puis faire le changement en . Sans certitude toutefois puisque je n'ai pas fait les calculs.

Black Jack

par Black Jack » 28 Aoû 2009, 10:53

girdav a écrit:Je pense qu'il peut-être plus rapide de décomposer en élément simples puis faire le changement en . Sans certitude toutefois puisque je n'ai pas fait les calculs.


Oui, mais cela revient à avoir posé sin(x) = X

et alors ne pas oublier que cos(x) dx = dX.

Il faut alors trouver cos(x) en fonction de X et cela introduit une racine carrée et un signe +/- dépendant de la plage de x .. .

Bref, je n'ai pas creusé, mais attention quand même.

:zen:

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mathelot
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par mathelot » 28 Aoû 2009, 11:35

effectivement,

l'intégrande f est fonction de la quantité sin(x).

l'idée est de poser X=sin(x) et d'effectuer la division euclidienne
des polynômes puis la réduction en éléments simples.

girdav
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par girdav » 28 Aoû 2009, 12:46

En fait ce que je voulais dire c'est que le changement en dans les trucs de la forme ou
va rendre le changement de variable plus efficace.

Black Jack

par Black Jack » 28 Aoû 2009, 13:55

mathelot a écrit:effectivement,

l'intégrande f est fonction de la quantité sin(x).

l'idée est de poser X=sin(x) et d'effectuer la division euclidienne
des polynômes puis la réduction en éléments simples.


Oui mais poser sin(x) = t
donne cos(x) dx = dt

dx = dt/cos(x)
dx = dt/(+/-V(1-sin²(x))
dx = dt/(+/- V(1-t²))

Donc sin³(x)/(6+4sin(x)+cos²(x)) dx = t³/(6+4t-t²) * dt/(+/- V(1-t²))

Et on est donc amené à :



La présence de la racine carrée et du +/- n'aident pas vraiment.
********
Le changement de variable tg(x/2) = t supprime à la fois la racine carrée et le signe +/- .

Ceci ne veut pas dire qu'une simplification ne va pas se faire en posant sin(x) = t.

:zen:

Bouchra
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par Bouchra » 29 Aoû 2009, 00:24

Bonsoir,

En lisant vite, je pensais que f(x)dx se conservait en changeant et , donc je cherchais à calculer l'intégrale avec le changement de variable u=sin(x) qui devait suffire (Règle de Bioche).

En fait finalement, le changement u=sin(x) peut servir juste à écrire différemment f(x), en effet :


( et )

Après on intègre chaque terme, et uniquement pour les deux derniers termes, on fait le changement de variable (Règle de Bioche toujours).

Voilà, je pense que c'est ce que voulait dire girdav.

Pour voir la tête que ça a : [url]http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=(sin(x))^3%2F(5%2B4*sin(x)%2B(cos(x))^2)&random=false[/url]
On retrouve bien les primitives de chaque terme.

girdav
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par girdav » 29 Aoû 2009, 09:27

Bouchra a écrit:Bonsoir,


En fait finalement, le changement u=sin(x) peut servir juste à écrire différemment f(x), en effet :


( et )

Après on intègre chaque terme, et uniquement pour les deux derniers termes, on fait le changement de variable (Règle de Bioche toujours).

Voilà, je pense que c'est ce que voulait dire girdav.

C'est exactement ça!

Black Jack

par Black Jack » 29 Aoû 2009, 09:48

Bouchra a écrit:Bonsoir,

En lisant vite, je pensais que f(x)dx se conservait en changeant et , donc je cherchais à calculer l'intégrale avec le changement de variable u=sin(x) qui devait suffire (Règle de Bioche).

En fait finalement, le changement u=sin(x) peut servir juste à écrire différemment f(x), en effet :


( et )

Après on intègre chaque terme, et uniquement pour les deux derniers termes, on fait le changement de variable (Règle de Bioche toujours).

Voilà, je pense que c'est ce que voulait dire girdav.

Pour voir la tête que ça a : [url]http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=(sin(x))^3%2F(5%2B4*sin(x)%2B(cos(x))^2)&random=false[/url]
On retrouve bien les primitives de chaque terme.


En faisant simplement la division euclidienne de sin³(x) par -sin²(x)+4sin(x)+6 (qui est égal à 5+4sin(x)+cos²(x)), on trouve directement l'expression de f(x) modifiée que tu as écrite, d'où mon incompréhension du changement de variable sin(x) = u proposé qui n'est pas nécessaire.
:zen:

Bouchra
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par Bouchra » 29 Aoû 2009, 18:27

Oui oui, c'est juste que c'est plus pratique de poser la division euclidienne en écrivant u (ou X ou ..) à la place de sin(x), pour ne pas trimbaler les sin.

J'avais aussi compris au départ le changement comme un changement qui simplifierait le calcul de l'intégrale mais comme tu l'a dit, il y le problème du dx.

 

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