Intégrale

[hxh2008]

salut tout le monde :we:
je vais vous demandez de m'éclairer un peu sur une intégrale qui est dans le livre de pisckounov qui est
intégrale de (4/(x^(4)+1)) dx
merci de me répondre

[Timothé Lefebvre]

Salut,

essaye de ramener cette fonction à une forme pour laquelle tu trouveras facilement une primitive (tableau des primitives).

[lapras]

Ce genre de truc ca fait intervenir des log et des tan^(-1)...

[hxh2008]

Salut,

essaye de ramener cette fonction à une forme pour laquelle tu trouveras facilement une primitive (tableau des primitives).

je sais mais quelle changement de variable je peux prendre svp
merci d'avoir répondu

[Black Jack]

C'est une simple application d'intégration de fraction rationnelle.
x^4+1 à 4 racines complexes distinctes faciles à trouver.
On les combine 2 à 2 et on a:

x^4+1 = (x²- V2 x + 1) * (x²+ V2 x + 1)

On met donc l'expression à intégrer sous la forme :

1/(x^4+1) = (Ax+B)/(x²- V2 x + 1) + (Cx+D)/(x²+ V2 x + 1)

On développe, simplifie et on identifie les coefficients de même puissance en x des 2 membres ...

Il me semble (fais-le) qu'on arrive à B = D = 1/2 et A = -1/(2.V2) et C = 1/(2V2)

On a donc (à vérifier) :

1/(x^4+1) = (-1/(2.V2) x+ 1/2)/(x²- V2 x + 1) + (1/(2V2) x+ 1/2)/(x²+ V2 x + 1)

Et en triturant un peu, on met sous la forme :

4/(x^4+1) = (-1/V2) * (2x- V2)/(x²- V2 x + 1) + 1/(x²- V2 x + 1) + (1/V2) * (2x+ V2)/(x²+ V2 x + 1) - 1/(x²+ V2 x + 1)

Les intégrations de (-1/V2) * (2x- V2)/(x²- V2 x + 1) et de (1/V2) * (2x+ V2)/(x²+ V2 x + 1) sont immédiates et donnent des ln.

Les intégrations de 1/(x²- V2 x + 1) et de 1/(x² + V2 x + 1) sont classiques et donnent des arctg.

Bon travail.

:zen:

[hxh2008]

merci de m'avoir répondu mais j'ai pas compris l'étape de
x^4+1 = (x²- V2 x + 1) * (x²+ V2 x + 1)
bonne journée

[hxh2008]

salut
comment on fait pour trouver cette égalité merci
x^4+1 = (x²- V2 x + 1) * (x²+ V2 x + 1)

[JJa]

x^4 +1 = (x²+1)²-2 x²
a²-b² = (a+b)(a-b) avec a=(x²+1) et b=(V2)x

[hxh2008]

merci beaucoup

[Black Jack]

salut
comment on fait pour trouver cette égalité merci
x^4+1 = (x²- V2 x + 1) * (x²+ V2 x + 1)

Il existe plein de méthodes pour trouver les solutions de x^4 + 1 = 0

En voivi une appliquable ici :

x^4 = -1
(x²)² = -1
x² = +/-i
a)
x² = i
x² = e^(Pi/2 + 2k.Pi)
x = e^(Pi/4 + k.Pi)
k = 0 --> x1 = cos(Pi/4) + i.sin(Pi/4) = 1/V2 + i.1/V2
k = 1 --> x2 = cos(Pi/4 + Pi) + i.sin(Pi/4 + Pi) = -1/V2 - i.1/V2

x² = -i
x² = e^(-Pi/2 + 2k.Pi)
x = e^(-Pi/4 + k.Pi)
k = 0 --> x3 = cos(-Pi/4) + i.sin(-Pi/4) = 1/V2 - i.1/V2
k = 1 --> x4 = cos(-Pi/4 + Pi) + i.sin(-Pi/4 + Pi) = 1/V2 + i.1/V2

x^4 + 1 = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
x^4 + 1 = [(x-x1)(x-x3)].[(x-x2)(x-x4)]

(x-x1)(x-x3) = (x - 1/V2 -i.1/V2)(x-1/V2 + i.1/V2)
(x-x1)(x-x3) = (x² - x/V2 + i.x/V2 - x/V2 + 1/2 - i/2 - i.x/V2 + i/2 + 1/2)
(x-x1)(x-x3) = (x² - V2.x + 1)

De la même manière, on arrive à :
(x-x2)(x-x4) = (x² + V2.x + 1)

Et donc: x^4 + 1 = (x² - V2.x + 1).(x² + V2.x + 1)

:zen: