Plusieurs exemples plus ou moins classique :
Par exemple si tu essayes de sommer sur N*N, la suite doublement indexée u(x,y) = 1 si x=y ; (-1) si x=y+1 ; 0 ailleurs,
ça te donne
somme pour x>=0 de (somme pour y>=0 de u(x,y)) = somme pour x>=0 de (1 si x=0; 0 sinon) = 1
somme pour y>=0 de (somme pour x>=0 de u(x,y)) = somme pour y>=0 de 0 = 0.
En inventant un ordre exprès pour, tu peux obtenir une limite qui fasse tous les entiers que tu veux ; ou qui diverge vers l'infini; ou qui oscille comme tu veux ... etc
Même sur des suites indexées par N, du genre somme des (-1)^n /n,
Selon l'ordre dans lequel tu sommes, tu peux obtenir n'importe quel réel comme limite.
Bon là bien sur, ça n'a pas tellement de sens physiquement de sommer avec un ordre bidon.
Prend la suite indexée sur Z, u(n) = (-1)^n.
Imaginons que tu veuilles sommer "cercle par cercle" :
u0 + (u1 + u(-1)) + (u2 + u(-2)) + (u3 + u(-3)) ... = 1 -2 +2 -2 +2 ..., ça donne un truc qui oscille autour de 0.
Maintenant, change l'origine et prend des "cercles" autour de 1/2 :
(u0 + u1) + (u(-1) + u2) + (u(-2) + u3) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.
Ca ressemble extrêmement bien à la situation où t'es, c'est pour ça que je pense que changer l'origine de ton repère sphérique est susceptible de donner un truc qui marche :
} sin(\theta) d\theta \quad<br />= 2\pi \int \limits_0^R dx \frac{-i (e^{-i| \vec{k_{\mu}} - \vec{k_{\nu}}|x cos(\pi)} - e^{-i| \vec{k_{\mu}} - \vec{k_{\nu}}|x cos(0)})}{| \vec{k_{\mu}} - \vec{k_{\nu}}|} \\<br />= 2\pi \int \limits_0^R dx \frac{2 sin (|\vec{k_{\mu}} - \vec{k_{\nu}}|x)}{| \vec{k_{\mu}} - \vec{k_{\nu}}|} \quad <br />= 4\pi \frac{1 - cos (|\vec{k_{\mu}} - \vec{k_{\nu}}|R)}{| \vec{k_{\mu}} - \vec{k_{\nu}}|^2})
Donc quand R tend vers l'infini, c'est un truc qui oscille autour de la valeur 4pi/|k_mu - k_nu|², qui est d'ailleurs le résutat à trouver.
