Integrale sin(x)/x, x=0..infini

par **dilzydils** » 03 Nov 2007, 17:26

Bonjour

Savez vous calculer cette integrale? je crois me rappeler que ca vaut Pi/2.

Merci

par **mehdi-128** » 03 Nov 2007, 17:33

c'est assez compliqué !Y a un passage en polaire a faire avec les intégrale doubles !

par **Nightmare** » 03 Nov 2007, 17:36

Salut :happy3:

Je crois qu'on peut faire simple avec Fubini en écrivant que

par **tize** » 03 Nov 2007, 17:38

Bonjour,
ça s'appelle l'intégrale de Dirichlet

Nightmare a écrit:Salut :happy3:

Je crois qu'on peut faire simple avec Fubini en écrivant que

Bonjour Nightmare,
pour avoir le droit d'appliquer Fubini, il faut que la fonction soit intégrable en valeur absolue !

par **tize** » 03 Nov 2007, 17:42

Nightmare a écrit:Salut :happy3:

Je crois qu'on peut faire simple avec Fubini en écrivant que

Bonjour Nightmare,
pour avoir le droit d'appliquer Fubini, il faut que la fonction soit intégrable en valeur absolue !

par **Pythales** » 03 Nov 2007, 18:36

N'ayant pas eu de réponse à ma précédente question, et puisqu'on reparle de cette intégrale, j'en profite pour la reposer ici :
Un moyen de la calculer est de considérer

, de calculer

ce qui donne

, et comme

on a

, et en faisant

on trouve que

ce qui est exact.
Malheureusement, pour

,

ne converge plus.
Comment justifier le résultat malgré tout ?

par **kazeriahm** » 03 Nov 2007, 19:23

il faut prouver la continuité de I en 0, ce qui prouverait le résultat

Il faut le faire à la main, ce qui est assez subtil si je me souviens bien (faut découper l'intégrale en série d'intégrale sur des segments et faire des majorations assez fines pour montrer que la différence I(alpha)-I(0) tend vers 0 quand alpha tend vers 0)

par **snoopy27** » 03 Nov 2007, 22:17

essaye de resoudre ce probleme,par l'analyse complexe
la fonction (exp(iz)-1)/z est une fonction holomorphe sur tout C (en prolonge par holomorphie au point0).
par application de théoreme de cauchy on aura:
intgrale (exp(iz)-1)/z dz=intgrale (exp(iz)-1)/z dz sur un contour gama de R+intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-R,+R)=0.(R:rayon )
integrale(exp (iz)dz sur gama de R -intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-R,+R).
quand R tend vers +infini par application de lémme de jordan integrale(exp (iz)dz sur gama de R tend vers 0.
en déduit donc que -ip=-intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-inf,+inf)
ip=intgrale (cos x+isin x-1)/x dx sur (-inf,+inf)=ip=intgrale ((cosx-1)/x +i sinx/x)dx=0 sur (-inf,+inf).
ip=intgrale i sinx/x dx implique integrale sinx/x dx=p sur (-inf,+inf).
désolé j'ai pas les signes necessaire :triste:

par **mehdi-128** » 03 Nov 2007, 23:57

snoopy27 a écrit:essaye de resoudre ce probleme,par l'analyse complexe
la fonction (exp(iz)-1)/z est une fonction holomorphe sur tout C (en prolonge par holomorphie au point0).
par application de théoreme de cauchy on aura:
intgrale (exp(iz)-1)/z dz=intgrale (exp(iz)-1)/z dz sur un contour gama de R+intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-R,+R)=0.(R:rayon )
integrale(exp (iz)dz sur gama de R -intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-R,+R).
quand R tend vers +infini par application de lémme de jordan integrale(exp (iz)dz sur gama de R tend vers 0.
en déduit donc que -ip=-intgrale (exp(ix)-1)/x dx sur (-inf,+inf)
ip=intgrale (cos x+isin x-1)/x dx sur (-inf,+inf)=ip=intgrale ((cosx-1)/x +i sinx/x)dx=0 sur (-inf,+inf).
ip=intgrale i sinx/x dx implique integrale sinx/x dx=p sur (-inf,+inf).
désolé j'ai pas les signes necessaire :triste:

ouah c'est condensé !!

par **snoopy27** » 04 Nov 2007, 00:14

je crois pas que c condenser,mais j'ai un manque de signe :hum:

par **Joker62** » 04 Nov 2007, 00:15

Si si c'est condensé ! :)
Pour les signes, voir le langage LaTeX, qu'on insère entre les balises [ TEX ] et [ \TEX ]

par **snoopy27** » 04 Nov 2007, 00:16

ok thanks :hein:

par **mehdi-128** » 04 Nov 2007, 00:31

snoopy27 a écrit:ok thanks :hein:

tu pourrais sauter des lignes :id:

Integrale sin(x)/x, x=0..infini

integrale sin(x)/x, x=0..infini

Qui est en ligne