Integrale de Riemann: inégalité

[snoopy59]

Bonjour à tous,

J'étudie en ce moment les intégrales de Riemann et deux exercices me posent problèmes

1) Soit f:[0,1]->[a,b] continue tel que
Montrer Peut-on avoir l'égalité ?

Voici mes réflexions:
- Deja d'apres Heine, on sais que f est également uniformement continue: je sais pas si cela peut nous aider mais c'est deja ça.
- Ensuite f admet un sup et un inf (meme si on avait [0,1]->R, je sais plus la démo mais je sais que c'est valable)
- On a bien sur B un majorant de f =M et a un minorant de f=m
- En tracant un croquis sur une feuille et en faisant l'aire
on obtient

J'ai également comme relation

mais je vois pas comment arriver au résultat.

2) f:[0,1]-> R+ continue ; montrer

- J'aimerai bien utiliser l'inégalité de Cauchy Schwarz mais je vois pas à qui l'appliquer.

merci d'avance pour votre aide

[Nightmare]

Salut :happy3:

As-tu essayé avec Cauchy-Schwartz?

[snoopy59]

Pour le 1) ?
?

[Nightmare]

Je n'avais pas vu la condition . Cela dit, quelque chose me chiffonne, par Cauchy-Schwartz on a rapidement mais f² est positive donc cette intégrale est nulle et par continuité (et positivité) on en déduit que f² est identiquement nulle ! (Et a fortiori encore par continuité que f est nulle)

[yos]

Cauchy-Schwarz ne donne pas ça!
C'est "produit scalaire plus petit que produit des normes".

[yos]

et donc . On prend l'intégrale des deux côtés.

[girdav]

Bonjour.
Pour achever la démonstration du 1) il faut justifier que via la continuité de .
Pour la deuxième inégalité dans la question 2 il faut étudier le signe de la différence en utilisant la linéarité de l'intégrale et en multipliant par la quantité conjuguée.
On conclut en utilisant la positivité de .
Pour la deuxième, tout se ramène à montrer que .