Integrale et primitive

[amine3030]

Bonjour, bonsoir à tous
J’ai un problème avec un exercice et je n’arrive pas à trouver la solution, j’espère que vous pourrez m’aider
Alors voilà l’exo :
On pour tout n ;) N,
I_n=;)(0 à ( pi/2)););) cos;)(t) ;) dt
a) Calculer I_(0) et I_(1).
b) Démontrer que pour tout n ;) N, on a : 0< I_(n+1)< I_n.
c) Etablir pour tout n>=2 la relation : n*I_n=(n-1)*I_(n-2).
d) En déduire que n*I_n* I_(n-1)=pi/2 pour tout n >=1, puis calculer I_n en fonction de n (on traitera d’abord le cas n pair en utilisant la question c) puis le cas n impair à l’aide de l’égalité précédente ).
e) Déduire des questions précédentes que
I_n/I_(n-1) -->1 lorsque n-->+inf puis que ;)n*I_n --> ;)pi/;)2 lorsque n-->+inf

Voilà en ce qui concerne l’énoncé. J’ai réussi à faire les questions a) b) c)
Mais je bloque à la d) et e) ^^
merci par avance.

[capitaine nuggets]

Salut !

c) Etablir pour tout la relation : .
d) En déduire que pour tout , puis calculer en fonction de (on traitera d’abord le cas pair en utilisant la question c) puis le cas impair à l’aide de l’égalité précédente ).

En prenant l'égalité obtenue dans c), et multipliant membre à membre par ce qui manque pour avoir le même membre de gauche dans l'égalité de d), on a .
Un récurrence immédiate donne alors .

Ensuite, si n est pair alors il s'écrit sous la forme .
On a alors, d'après c), .
Fait encore une récurrence immédiate (même raisonnement pour ).

[amine3030]

j'ai compris pour la première partie de la question mais j'ai pas bien saisi comment t'as fais pour le cas de n pair, ni impair d'ailleurs :p
il faut calculer I_2p ?

[capitaine nuggets]

j'ai compris pour la première partie de la question mais j'ai pas bien saisi comment t'as fais pour le cas de n pair, ni impair d'ailleurs :p
il faut calculer I_2p ?

Oui, j'avais mis des et des (du coup, j'ai tout mis en "", relis mon post :++:).
C'est un peu la même chose que pour la première partie de la question : il faut faire une récurrence immédiate.
On a . Ensuite, on te demande de distinguer n pair et n impair : faisons-le :we:
En posant n=2a, on a