Intégrale de Lebesgue-Stieltjes

[Shaddan]

Bonjour,
J'ai récemment acheté un nouveau livre de probabilités, et j'ai quelques problèmes à comprendre une notation et sa notion associée. Celle-ci sortant assez souvent cela m'empêche d'avancer. J'ai déjà fait quelques recherches mais sans vraiment réussir à comprendre, donc si quelqu'un avait la gentillesse de m'expliquer, je lui en serais reconnaissant.
Voici un exemple de ce que je n'arrive pas à comprendre :
Avec un espace de probabilité et une sous-tribu de , on a :

C'est en fait l'intégrale que je ne comprends absolument pas. Je n'ai encore jamais vu de notation avec une intégration en fonction d'autre chose qu'une variable comme ou autre. Si j'en crois l'index des notations, serait une intégrale de Lebesgue-Stieltjes de par rapport à la fonction de masse donc je pense que c'est de ceci qu'il s'agit ici, mais les explications que j'ai pu trouvé jusqu'ici ne m'ont absolument pas aidé.
J'espère que quelqu'un pourra m'éclairer un peu.
Merci d'avance.

[arnaud32]

tu as une mesure a droite tu dois avoir une mesure a gauche
ton integrande est en fait une esoperance conditionnelle

[Shaddan]

Oula désolé, c'est en effet

Hum, je ne vois pas vraiment comment retrouver la forme avec une espérance conditionnelle. Est-ce que ça serait possible de réécrire cette intégrale avec une écriture du type

ou pas ? Je pense que si c'était faisable ça me permettrait mieux de comprendre.
Merci d'avance et désolé pour l'erreur dans la formule, j'ai aussi corrigé le premier message.

[laya]

Oula désolé, c'est en effet

Hum, je ne vois pas vraiment comment retrouver la forme avec une espérance conditionnelle. Est-ce que ça serait possible de réécrire cette intégrale avec une écriture du type

On sent un peu la question du physicien (que je respecte bien sûr).
Comme l'a dit arnaud32, ton égalité est tout simplement une relation vérifiée par l'espérance conditionnelle de l'indicatrice de , càd la var constante égale à 1.
et donc, pour tout :

Or, justement :
et de façon générale :
(à rapprocher un peu avec :