Intégrale impropre

[ludo60]

Bonjour,

Je cherche à étudier la nature de l'intégrale, entre 1 et de avec .

Ma première piste, j'utilise le fait que et on peut en conclure que pour a>1, l'intégrale est absolument convergente, donc convergente.
J'ai aussi une piste pour a>0 en utilisant le critère d'Abel (il faut que je retrouve les hypothèses exactes mais je devrais pouvoir conclure.

Je n'ai pas d'idées pour a<0... Je pense que l'intégrale diverge mais n'arrive pas à le prouver.

Merci pour votre aide

[Ben314]

Salut,
J'ai failli commencer par dire une connerie donc je te la soumet à titre de question :
- Est il possible qu'une fonction f:[0,+oo[->R (continue, dérivable et même plus si tu veut ; y compris en 0) soit intégrable sur [0,+oo[ alors qu'elle ne tend pas vers 0 en +oo ?

Bon, sinon, une façon pas trop chiante de montrer que ton truc diverge lorsque a<=0, c'est simplement de considérer l'intégrale Jk de ta fonction entre 2k.pi-pi/2 et 2k.pi+pi/2 (par exemple).
Si elle était intégrable sur [0,+oo[ ça devrait tendre vers quoi ?
Or, qu'est ce qu'on peut dire de Jk ?

[ludo60]

Salut, pour ta première question, je dirais que si la fonction est positive (ou même de signe constant), alors non. Après, pour les fonctions oscillantes, je n'ai pas d'exemples en tête mais me dit qu'il pourrait y avoir un système de "compensations" qui la rend intégrable...

Je réfléchi à la deuxième question...

[ludo60]

Il est clair que, pour la deuxième question, on doit avoir pour limite 0. Je vais donc essayer de minorer cette intégrale par un truc positif.

[Ben314]

Ca roule...

Et si la première question t'amuse, ben en fait, non : même en supposant la fonction positive (et "régulière"), le fait qu'elle soit intégrable sur [0,+oo[ n'implique pas qu'elle tend vers 0 : elle pourrait faire de minuscules "bosses" de hauteur 1 mais de largeur de plus en plus petite de façon à ce que la somme des surfaces sous les bosses soien majorée.
Par exemple (et sauf erreur), la fonction x -> ( (2+cos(x)) / 3 )^x sur [1,+oo[ est très régulière (dérivable autant de fois qu'on veut), elle est positive, intégrable sur [0,+oo[, mais ne tend pas vers 0 (trace là sur un intervalle assez large avec un truc style géogébra et tu verra ce qui se passe)

[ludo60]

Je pense que j'y suis:

Pour avec , on a:

lorsque .

Donc . Or, l’intégrale entre de cos x est 2

On obtient que l'intégrale de la fonction est strictement positive.

Je fais ensuite le cas a=0 à part.

J'espère ne pas avoir fait d'erreur, je vais me relire !

Merci

[ludo60]

Je n'avais pas vu ta réponse de 15h57...

Ok, je vais essayer de la tracer.

Je suis un peu perturbé tout de même par le raisonnement: pour tout entier k>0, j'ai montré que l'aire était strictement positive. Mais pour moi, cela ne contredit pas nécessairement l'intégrabilité de la fonction car on connait des "sommes infinis" de trucs positifs qui pourtant convergent (séries de Riemann par ex...)
J'ai le sentiment que je fais de grosses confusions sur les définitions, peut-être devrais-je reprendre demain à tête reposée

[Ben314]

Oui, mais la, non seulement ton intégrale de 2k.pi-pi/2 à 2k.pi+pi/2 est positive, mais en fait elle est égale à 2 donc elle ne tend pas du tout vers 0.
Alors que si la fonction était intégrable, ça signifierais que limite[M->oo] intégrale de 0 à M existe ce qui impliquerais que limite[k->oo] intégrale de 2k.pi-pi/2 à 2k.pi+pi/2 devrait tendre vers 0 (*)
Si tu avait obtenu que l'intégrale étais par exemple égale à 1/k qui est strictement positif ET qui tend vers 0, alors effectivement, il n'y aurais pas d'objection à ce que l'intégrale soit convergente sur [0,+oo[.

Bref, c'est pas le fait que ton intégrale sur "un petit bout" soit strictement positive qui est gênant, c'est le fait que ça ne tende pas vers 0 alors que le "petit bout" à ces deux extrémités qui tendent vers l'infini.

(*) Sachant que la preuve de ce fait repose simplement sur le fait que, si une fonction F admet une limite finie L en +oo, alors quelque soit la suite ak tendant vers +oo on a F(ak) -> L donc si on a deux suites ak et bk qui tendent vers +oo on a forcément F(bk)-F(ak) qui tend vers L-L=0.
Et on applique simplement ce résultat à la fonction F(M)=intégrale de 0 à M de f(x) dx.

[ludo60]

Oui bien sur ! Je me suis noyé dans un verre d'eau, désolé

Merci encore et bonne soirée !