Intégrale impropre

[ayofk]

Bonjour à tous,
j'aimerais s'il vous plaît de l'aide sur cet exercice. Il s'agit de déterminer la nature de cette intégrale par la méthode de comparaison:


Je sais d'ores et déja qu'elle est convergente. On me demande aussi de montrer qu'elle n'est pas absolument convergente.
Merci !

[Lostounet]

Salut,

Quelque chose comme:



Or:


Ps: Pourquoi tu commences à pi/2 ? Elle a aucun pb en 0 vu que sin (t) ~ t au voisinage de 0 et que la fonction y est continûment prolongeable.

[ayofk]

Waouh honnêtement j'ai rien compris à tout ça

Ps: l'exercice m'a été donné ainsi, j'ai rien modifié.

[Lostounet]

Waouh honnêtement j'ai rien compris à tout ça

Ps: l'exercice m'a été donné ainsi, j'ai rien modifié.

C'est quoi la différence entre intégrale absolument convergente et une intégrale convergente ?
Comment as-tu montré que cette intégrale converge?

[pascal16]

Absolument n'est pas le mot français utilisé pour confirmer un affirmation, mais est lié à la valeur absolue.

[Lostounet]

Absolument n'est pas le mot français utilisé pour confirmer un affirmation, mais est lié à la valeur absolue.

Absolument !

[ayofk]

Waouh honnêtement j'ai rien compris à tout ça

Ps: l'exercice m'a été donné ainsi, j'ai rien modifié.

C'est quoi la différence entre intégrale absolument convergente et une intégrale convergente ?
Comment as-tu montré que cette intégrale converge?

On parle d'intégrale absolument convergente quand l'intégrale de la valeur absolue de la fonction à intégrer converge

[Lostounet]

Et donc ici pour montrer qu'on n'a pas convergence absolue de l'intégrale, on cherche à la minorer par une quantité divergente...

[ayofk]

Non en fait il faut faire la différence.... Une intégrale absolument convergente est aussi une intégrale semi-convergente ( communément convergente ) donc le truc sur cette intégrale si c'est qu'elle est semi-convergente mais pas absolument convergente. Pour montrer qu'une intégrale est absolument convergente, on étudie la nature de avec les bornes qui conviennent.

[Lostounet]

Non en fait il faut faire la différence.... Une intégrale absolument convergente est aussi une intégrale semi-convergente ( communément convergente ) donc le truc sur cette intégrale si c'est qu'elle est semi-convergente mais pas absolument convergente. Pour montrer qu'une intégrale est absolument convergente, on étudie la nature de avec les bornes qui conviennent.

Oui, c'est cela (je te pose la question juste pour vérifier que tu as compris le but de l'exo...je sais ce que ça veut dire)

Donc ici tu dois montrer qu'elle est convergente d'abord et ensuite vérifier qu'elle n'est pas absolument convergente.

Comment as-tu montré qu'elle converge? Tu peux tenter une intégration par parties, par exemple (ou autre...). Le calcul explicite n'est pas demandé (on pourrait appliquer le théorème des résidus si la borne de départ est 0...)


Ensuite pour répondre à la question de la non absolue convergence, je t'ai proposé une idée... l'as tu au moins lue ? Pour qu'on regarde ensuite quoi détailler ou rectifier.

[ayofk]

Bon c'est en faisant l(intégration par partie que j'ai su qu'elle converge. C'est quoi le théorème des résidus??

[Lostounet]

Bon c'est en faisant l(intégration par partie que j'ai su qu'elle converge. C'est quoi le théorème des résidus??

Oublie le thm des résidus pour le moment car on ne te demande pas d'estimer la valeur de l'intégrale semi-convergente et on en est encore un peu loin.

Tu dois minorer l'intégrale de |sin(t)|/t par quelque chose qui tend vers l'infini.

[ayofk]

Etant donné qu'elle est convergente, on doit plutôt la majorée non ?? Ou bien il y a quelque chose que j'ai pas saisi.

[pascal16]

l'intégrale de la valeur absolue est divergente.
si on minimise l'intégrale par un autre connue qui diverge, on prouve sa divergence.
Il suffit d'en trouver une seule et en plus on peut choisir un découpage pour la calculer (la transformation en série des 1/n ici).

[Ben314]

Salut,
La première méthode qui doit enir à l'esprit, c'est effectivement le "découpage" proposé par Lostounet (modulo qu'il s'est un peu gouré sur les bornes d'intégration dans la somme, mais ça change que dalle au principe).

Après, si on veut faire dans le "plus subtil", on pourrait éventuellement partir du fait que, vu que, pour tout réel on a et donc or, lorsque , la première intégrale tend vers +oo alors que la deuxième reste bornée (se démontrer en faisant la même i.p.p. que pour l'intégrale )

[Lostounet]

Effectivement j'ai oublié des choses dans les bornes en faisant la relation de Chasles (pi/2).