Intégrale généralisée

par **Pegase** » 18 Avr 2006, 21:17

Bonjour,

j'ai lu que la fonction harmonique 1/t est non intégrable sur ]0,1] mais je ne comprends pas pourquoi...
Autant je comprends qu'elle ne soit pas intégrable sur [0,1], autant je ne vois pas le problème si la borne inférieure de cet intervalle est STRICTEMENT supérieure à 0.

Ca serait vraiment sympa de m'expliquer SVP. Merci! :++:

En fait je suis en train d'étudier le convergence de la fonction e(-t)/t sur ]0,+inf] et ]10,0[... On m'a dit qu'elle n'est convergente sur ni l'un ni l'autre mais par contre je ne comprends pas. Je ne vois pas le réel problème aux abords de 0...

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 21:27

Bonsoir,

Pegase a écrit:Bonjour,

j'ai lu que la fonction harmonique 1/t est non intégrable sur ]0,1] mais je ne comprends pas pourquoi...
Autant je comprends qu'elle ne soit pas intégrable sur [0,1], autant je ne vois pas le problème si la borne inférieure de cet intervalle est STRICTEMENT supérieure à 0.

Ca serait vraiment sympa de m'expliquer SVP. Merci! :++:

Calcule ton intégrale sur [a,1] et fais tendre a vers 0. Que se passe t'il ?

par **Pegase** » 18 Avr 2006, 21:48

Touriste a écrit:Calcule ton intégrale sur [a,1] et fais tendre a vers 0. Que se passe t'il ?

Elle tend vers l'infini...Mais en même temps je ne cherche à prouver l'intégrabilité que sur ]0,1], pas [0,1]
Mais une intégrale continue sur un intervalle n'est elle pas intégrable sur cette intervalle? Car 1/t est continue sur ]0,1[...

par **Pegase** » 18 Avr 2006, 22:04

En fait je crois que j'ai compris où est mon erreur de raisonnement : pour moi l'integrale de 1/t est de même nature sur ]0,10] et [A,10] tant que A>0 (j'ai bien sûr pris 10 au hasard)
Or ce ne serait pas le cas puisque la seconde (sur [A,10]) est bien intégrable. Vous confirmez?

par **Mike_51** » 18 Avr 2006, 22:17

Oui, le raisonnement f est intégrable sur [a,+oo[, ceci quelque soit a>0, donc intégrable sur ]0,+oo[ ne tient pas. On rencontre la même erreur avec la convergence normale d'une série de fonction. Par contre ça marche pour la continuité.

par **Pegase** » 18 Avr 2006, 22:27

Mike_51 a écrit:Oui, le raisonnement f est intégrable sur [a,+oo[, ceci quelque soit a>0, donc intégrable sur ]0,+oo[ ne tient pas. On rencontre la même erreur avec la convergence normale d'une série de fonction. Par contre ça marche pour la continuité.

Mais si la fonction est prolongeable par continuité et donc définie, n'est-elle donc pas intégrable? (faux problème en ]0,...] )
En gros pourquoi le raisonnement ne tient pas debout?? Dsl mais je bug sur ça...

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 22:43

En ce qui concerne la continuité, je pense que Mike_51 voulait dire que pour montrer qu'une fonction est continue sur ]0,10[ (mon 10 est aussi arbitraire que le tien), il suffit de montrer qu'elle est continue sur [a,10[ (ou ]a,10[) pour tout a dans ]0,10[. Ce n'est pas tout à fait le même problème que le tien.

Connais-tu la notion d'intégrale de Lebesgue ?

par **Pegase** » 18 Avr 2006, 22:47

Touriste a écrit:Connais-tu la notion d'intégrale de Lebesgue ?

Non. Ou peut-être que je l'utilise mais en tout cas de nom non.

par **Touriste** » 18 Avr 2006, 22:54

Ca ne te dira donc pas grand chose, mais dire que ta fonction est intégrale sur [0,1] ou sur ]0,1], c'est la même chose car le singleton {0} est de mesure de Lebesgue nulle.

par **Pegase** » 18 Avr 2006, 23:05

En tout cas je vais regarder d'autres topics de ce forum, je pense que ça va clarifier des choses, moi qui pensait avoir compris toutes les subtilités des intégrales généralisées... ;) :triste:

Merci

par **Pegase** » 18 Avr 2006, 23:53

On considère la fonction f(t)=e(-t)/t définie sur ]0,+oo[

On suppose x réel strictement positif, on a alors :

1) f est continue sur l'intervalle [x,+oo] donc intégrable sur cette intervalle.

2) pour que f soit intégrable sur [x,+oo[ il suffit que f soit positive, continue par morceaux sur ]x,+oo[ et que f(t) tendre vers 0 lorsque t tend vers +oo

3) la fonction f n'est pas intégrable sur [x,+oo[ car la fonction 1/t n'est pas intégrable sur cet intervalle

4) la fonction f est intégrable sur [x,+oo[ car la fonction f est positive, continue sur [x,+oo] et équivalente en +oo à la fonction e(-t) intégrable sur [x,+oo[

Voici ce que je pense, est-ce exact? -->

1) Il manque "de signe constant" et "f(t) tend vers 0 lorque t tend vers +oo"
2) le "par morceaux" est en trop
3) c'est vrai MAIS f(t) n'est de toute façon pas équivalent à 1/t en +oo
4) n'est pas équivalent à e(-t) en +oo

Donc aucune des réponses n'est vraie.
Par contre on pourrait dire que e(-t)/t est intégrable sur [x,+oo] car la fonction f est positive continue et que la fonction t^2f(t) tend vers 0 lorsque t tend vers +oo

Merci encore!

par **nyafai** » 19 Avr 2006, 00:54

en effet, aucune affirmation n'est vraie mais pas pour les raisons que tu donnes.

1) tou ce qu'on sait c'est qu'une fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment mais [x,+00] n'est pas un segment donc le fait que f soit continue ne suffit pas.

tes justifications sont fausses : même si on avait dit de signe constant et f tend vers 0, ca n'aurait pas justifié que f soit intégrable.

contre-exemple : t->1/t est de signe constant et tend vers 0 en +00 et pourtant elle n'est pas intégrable sur [x,+00[

Je n'ai pas le courage de te montrer bien que les autres affirmations sont également fausses.

Par contre je peux te dire que f est bien intégrable sur [x,+00[ : pour le montrer on peut dire par exemple que pour t>1, 0 < e(-t)/t < e(-t) et e(-t) est intégrable sur [x,+00[, d'où l'intégrabilité de f.

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