Intégrale de Fresnel

[sky-mars]

Bonjour

Je souhaiterai calculer l'intégrale sur R+ du cos (x²) ou sin(x²).
quand je prend par exemple f (z ) = exp ( i z²) fonction holomorphe sur le contour fermé OAB dont AB est un arc de cercle où (OA,OB) = pi/4
Donc la pas de souci. J'applique théoreme de cauchy et lemme de jordan ! nickel chrome.
En posant C + i S = int ( exp( iz² ) dz ) sur ce contour et je décompose en trois intégrale pas de souci !
Mais voila, dans l'exercice on m'impose la fonction f(z) = exp( -z² ) et d'appliquer le théoreme de cauchy

donc on a
int ( exp ( -z² ) dz ) = 0 je décompose en trois intégrale
I1 = int ( exp(-x² ) , x=0..R)
I2= int ( R i exp( i@) exp( -R² exp(2i@ ) ) , @=0..pi/4)
I3= int ( exp(i pi/4) exp ( -i x² ) , x= R.. 0 )

L'ultime probleme arrive lorsque je veux montrer que I2=0 quand R->+OO

En effet
| I2 | < R int ( exp (-R² cos (2@) ) , @=0..pi/4 )

et la je seche ...
car si j'avais utilisé dés le debut f ( z ) = exp( iz² ) , sa aurait plus simple j'aurai eu un sin (2@) , un petit changement de variable et dire que 2/pi @ < sin(@) et hop la majoration serait vite réglée .

Donc que faut il faire s'il vous plait ??

[Arkhnor]

Salut.

Sur l'intervalle [0,PI/2], tu as une inégalité analogue pour le cos :

[sky-mars]

ah merci c'est de la bombe cette inégalitée, je l'a connaissais pas !

[Arkhnor]

On la démontre exactement de la même manière que l'autre : inégalité de convexité, ou étude de fonction.