Intégrale de fredholm

[zaza]

(El):intégrale (f(x)-k(x,t)f(t)dt=g(x) ) sura,b]; k, g et f continue.
on pose (Un): U0=g et Un+1(x)=k(x,t)Un(t)dt.
et M=sup|k(x,t) sur [a,b]*[a,b] et l'on a |l|M(b-a)<1.

1.1/mq Un continue sur [a,b].
ici j'ai utilisé théorème analyse en montrant que c'est uniformémént continue et donc continue.
1.2/mq la série [l^nUn]converge normalement sur .
|l^nUn(x)|<|l^n||Un(x)|.
Or Unest continue sur un compact donc atteint ses bornes.
<|l^n|sup|Un|
<(1/M(b-a))^n*Cste.
ensuite je ne sais pas comment conclure.

1.3/mq =nnest solution de (El)
pas de problème
2/mq que Somme (l^nUn)est l'unique solution.
[B]j'ai fait par récurrence terme à terme.[/B]
3/on définit K la fonction [Kh](x)=intégrale sur [-1,1] k(x,t)h(t)dt.

3.1/ mq que K est linéaire.
alors là je sèche.
[Kh](ax)=a[Kh](x)
[Kh](x+y)=[Kh](x)+[Kh](y) ??
je dois bien montrer ça

3.2/k(x,t)=a(x)b(t)+a(t)b(x) avec a, b continues, orthogonales et normées.
U1=a+b et U2=a-b
calculer KU1 et KU2. Que peut-on en déduire pour u1etU2?

ici, j'ai cherché mais je n'arrive pas à exploiter l'hypothèse d'orthogonalité.[/B]

3.3/soit h appartenant à C0, exprimer Kh comme combinaison linéaire de U1etU2.De même pour K^nh.

3.4/pour 0<|l|<1 résoudre (El]

3.5/préciser la solution de (El) si g orthogonale à u1etU2.

3.6/application:=[-pi;pi]
k(x,t)=sin(x+t)/pi et g(x)=sin(2x)
résoudre (E1/2) et (E1).

[B]Voilà, j'ai mis tout mon pb. J'espère que vous allez pouvoir m'éclairer
pfou dur dur!! :hein: