Integrale de sh(x)^n entre 0 et ln(1+sqrt2)

[acteon]

Bonjour, j'ai un problème pour finir un exercice sur cette intégrale notée In
Je devais commencer par montrer que n In + (n-1)I_n-2 = sqrt(2) ce que j'ai fait par IPP, mais je dois en déduire un équivalent de I_n (qui tend vers 0)
On a facilement In à valeurs positives donc on obtient n In <= sqrt(2)
J'ai essayé d'utiliser (I_n) décroissante , éventuellement même sh(x) >= x et intégrer pour un minorant simple de I_n, mais je n'arrive pas à conclure, uniquement avec l'encadrement proposé et des inégalités élémentaires. Un des problèmes est qu'on n'a pas a priori I_n équivalent à I_n-2 même si on se doute que c'est le cas...
Merci!

[Lostounet]

Hey,

Je suis pas sûr, quelqu'un pourrait-il confirmer ou infirmer le suivant:




Et il me semble que le membre de gauche est équivalent à
Vrai ou faux?

[samoufar]

Bonjour,

Et il me semble que le membre de gauche est équivalent à
Vrai ou faux?

Cela revient à affirmer que est équivalent à , ce qui n'est pas toujours vrai (prendre l'exemple pour s'en convaincre ). Après même si tu arrives à montrer ça, sommer des équivalents, c'est mal

[Lostounet]

Salut Samoufar,

Oui j'en suis conscient. Mais dans le cas d'une limite finie L (le cas ici si je me fie à l'auteur du fil) toujours pas?

Car et sont censés se comporter idem en l'infini non?

[samoufar]

Alors on reprend avec

[Lostounet]

Ok ....
Du coup je tire mon chapeau.

D'autres idées pour cet équivalent? J'espère que ce sera pas 1/(V2*n) pour le coup.

[samoufar]

Merci
Moi j'ai pensé à faire quelque chose comme pour les intégrales de Wallis (à savoir mettre et d'un côté et de l'autre de l'égalité puis de multiplier par ), mais ça n'a pas trop l'air d'aboutir (après je n'ai pas poussé le calcul trop loin ).

[Lostounet]

Mais du coup il y a comme un truc qui va pas chez moi...

C'est quoi cette histoire de suites extraites qui ont mêmes limites -.- ...
ça marche si le quotient n'est pas de la forme 0/0 ou infini/infini ?

[samoufar]

Je pense que tu confonds ici "avoir la même limite" et "avoir la même vitesse de convergence". Deux suites peuvent très bien avoir la même limite mais converger à des vitesses différentes (ex : et ).

[Lostounet]

Non, je confonds plutôt la vitesse de convergence de "Un" et d'une extraction de Un (même suite). non?

[samoufar]

Oui justement, deux sous-suites peuvent avoir même limite mais converger à des vitesses différentes (par exemple en alternant les termes des deux suites de mon post précédent ).

[Lostounet]

Oui voilà tu fais une extraction en n^2 sorry !

[acteon]

ravi de voir la discussion qu'a nourrie le sujet, pour l'histoire des suites extraites qui ont même limite, tu as raison, mais c'est plutôt le problème d'une limite nulle (ou + infini, sauf que de toute façon on ne dit pas équivalent à +infini): si (u_n) converge vers 3 par exemple, aucun souci pour écrire u_n , u_n+1, ou toute suite extraite, équivalente à 3, et donc équivalentes entre elles.
mais ça ne marche pas pour zéro, voir l'exemple de n!

[acteon]

au fait, une petite simulation numérique indique bien que I_n est équivalente à sqrt(2)/n
L'inégalité I_n <= sqrt(2)/n est donc satisfaisante.
c'est l'inégalité de gauche qui manque...

[acteon]

...et si on écrit I_n-2 >= I_n , on obtient assez facilement I_n >= sqrt(2)/(2n+1) ...problème , ceci n'est pas assez précis pour conclure par théorème d'encadrement...

[Kolis]

Bonjour !
On a et
d'où
d'où l'équivalent cherché.

[acteon]

merci!en bon nigaud que je suis je m'étais trompé dans la conjecture numérique, je pouvais toujours chercher sqrt(2)/n....merci en tout cas

[Lostounet]

merci!en bon nigaud que je suis je m'étais trompé dans la conjecture numérique, je pouvais toujours chercher sqrt(2)/n....merci en tout cas

Excusez mon intrusion mais... vous trouvez quoi comme équivalent ? 1/(√2*n) ...?

[Kolis]

Bonjour !
Avec l'encadrement que j'ai proposé l'équivalent est ou si tu préfères

[acteon]

oui c'est ça, autrement dit sqrt(2)/2n . ça vient du théorème d'encadrement appliqué à l'encadrement donné par Kolis (en toute rigueur, après multiplication par sqrt(2)n)