Intégrale d'un endomorphisme

[Pseuda]

Bonjour,

Je lis dans un livre une affirmation, que je vais essayer de résumer ici.

Soit un e.v.n de dimension finie et un endomorphisme de . Soit une fonction continue de l'intervalle dans . Il est dit quelque chose qui revient à dire que : .

J'arrive au résultat au terme d'un calcul pénible (en décomposant les vecteurs et leur image par dans une base de . Mais je me demande s'il n'y a pas une considération plus rapide qui m'échappe.

Pour info, je ne connais jusqu'alors que la définition pour une fonction vectorielle continue de dans , de composantes dans une base : , justifiée par le fait que ce dernier vecteur ne dépend pas de la base choisie.

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,

Pour info, je ne connais jusqu'alors que la définition pour une fonction vectorielle continue de dans , de composantes dans une base : , justifiée par le fait que ce dernier vecteur ne dépend pas de la base choisie.

Ca, c'est effectivement une définition simple et qui peut être utile pour les exo. "basiques" où on demande de calculer explicitement une intégrale où tout est connu.

Mais évidement, c'est pas du tout un bon point de vue théorique : là où c'est super clair, c'est qu'avec ça comme définition, tu es obligé de montrer que ça ne dépend pas de la base alors qu'avec une "bonne" définition, ça devrait évidement "couler de source", voire même mieux, la définition ne devrait pas parler de base du tout.

Une définition "évidente" qui vient à l'esprit, c'est de faire exactement comme pour les fonction de R->R, c'est à dire poser où est une "subdivision marquée" de [a,b] et où est son "pas" (et,bien sûr, l'intégrale existe ssi la limite existe)

Évidement, cette définition coïncide avec la tienne en dimension finie, sauf que :
- Elle permet de parler d'intégrales dans le cas où E est de dimension infinie (avec une norme sur E bien sûr)
- Y'a rien à montrer concernant la dépendance à la base choisie vue qu'il y a pas de base.
- Ton truc d'interversion intégrale / endomorphisme continu devient complètement trivial (et en dim. finie tout endomorphisme est continu)
- Par contre, il faut regarder si les fonctions continues sont effectivement intégrable : En dimension finie, on peut le faire en commençant par démontrant "ta définition" mais, en dimension quelconque, il faut "recopier" la preuve classique pour les fonctions de R->R et on voit que pour que ça marche, il faut que E soit un Banach (i.e. qu'il soit complet) vu que c'est ça "le cœur" de la preuve pour les fonctions de R->R.

[Pseuda]

Merci Ben314. Je vais étudier cela, notamment en quoi avec cette définition, l'interversion intégrale / endomorphisme devient trivial en dimension finie.