Salut Aviateur,
Si tu veux bien qu'on revienne sur cette intégrale.. !
Voici une autre méthode qui m'a aussi beaucoup plu. Tous les passages à justifier (a posteriori) seront notés par un (*)
Introduisons l'intégrale paramétrique:
en supposant que le dénominateur possède deux racines complexes conjuguées (discriminant négatif strict).
On met donc
sous forme polaire
avec donc:
Première étape: évaluons
((*) Lemme à prouver par la suite): Utilisons le lemme d'interversion des sommations suivant:
Si P est de la forme d'un DSE,
, nous avons:
avec L qui désigne
Maintenant, pour tout
n'annulant pas
, nous avons
qui incite à poser
qui n'a pas de singularités polaires par hypothèse. P(x) a un DSE de la forme:
(**)
Cela permet d'extraire
Maintenant nous essayons d'appliquer le Lemme d'interversion il nous faut donc les valeurs de L(1) et L'(1).
Pour
par le théorème de Dirichlet (en utilisant la transformée de Fourier d'une fonction C1 par morceaux, en tout point de continuité).
La dérivée de L vaut
(**) .
On établit
(***) ensuite que:
Soit plus explicitement, en faisant intervenir la fonction Digamma (
):
(E)Finalement, la question posée du calcul de
se ramène par changement de variable
au calcul de
qui n'est autre que
.
En remplaçant dans (E) par les valeurs souhaitées et en utilisant des valeurs remarquables de la fonction Digamma, comme Digamma(1/4) et Digamma(3/4), nous aboutissons à:
et à un moyen de calculer l'intégrale pour plusieurs exposants possibles.