Intégrale et dérivabilité

par **sl4cker** » 03 Déc 2006, 15:47

Je ne comprends pas cet exercice. Quelqu'un aurait de l'aide à me proposer ?

Merci

On note F la fonction définie sur [ (pi/6) ; pi ] par F(x) = Intégrale ((sint/t)dt) de pi/2 a pi.

On pose F(pi/6) = I et F(pi) = J. On ne cherchera pas à calculer I et J.

1. Etudier F : dérivabilité, calcul de F'(x), sens de variation, tableau de variation.
2. Montrer que F admet une réciproque (notée G) dérivable sur [I;J]
3. Calculer G'(0)

par **tize** » 03 Déc 2006, 16:00

sl4cker a écrit:On note F la fonction définie sur [ (pi/6) ; pi ] par F(x) = Intégrale ((sint/t)dt) de pi/2 a pi.

ba F(x) ne dépend pas de x ? :hein:

par **anima** » 03 Déc 2006, 16:04

sl4cker a écrit:Je ne comprends pas cet exercice. Quelqu'un aurait de l'aide à me proposer ?

Merci

On note F la fonction définie sur [ (pi/6) ; pi ] par F(x) = Intégrale ((sint/t)dt) de pi/2 a pi.

On pose F(pi/6) = I et F(pi) = J. On ne cherchera pas à calculer I et J.

1. Etudier F : dérivabilité, calcul de F'(x), sens de variation, tableau de variation.
2. Montrer que F admet une réciproque (notée G) dérivable sur [I;J]
3. Calculer G'(0)

Ta fonction, c'est sinx/x ou son intégrale? Car je comprends rien. On te donne une fonction donnée par l'intégrale d'une autre, et on te demande de calculer la dérivée? Ca n'a ni queue ni tête

par **sl4cker** » 03 Déc 2006, 16:05

si tu as raison, c'est à force de mettre des pis ^^

On note F la fonction définie sur [ (pi/6) ; pi ] par F(x) = Intégrale ((sint/t)dt) de pi/2 a x.

par **sl4cker** » 03 Déc 2006, 16:07

jme suis juste un peu trompé en lisant

par **Epsilon** » 03 Déc 2006, 16:07

F(x) ne dépond pas de x :triste: :triste: :triste:

par **tize** » 03 Déc 2006, 16:10

sl4cker a écrit:si tu as raison, c'est à force de mettre des pis ^^

On note F la fonction définie sur [ (pi/6) ; pi ] par F(x) = Intégrale ((sint/t)dt) de pi/2 a x.

Dans ce cas, F n'est rien d'autre que la primitive de

qui s'annule en 0...

par **anima** » 03 Déc 2006, 16:13

tize a écrit:Dans ce cas, F n'est rien d'autre que la primitive de qui s'annule en 0...

Depuis quand sin(t)/t s'annule en 0?
Utilisons les développements limités pour trouver.
sin(x) à l'ordre 3 = x-1/6x^3 + E(x) E->0 si x->0
Dès lors:

par **sl4cker** » 03 Déc 2006, 16:15

Merci là-dessus je suis d'accord, c'estce que j'avais déjà remarqué. Ce que je n'arrive pas à faire c'est les questions sur les réciproques ...

par **tize** » 03 Déc 2006, 16:18

anima a écrit:Depuis quand sin(t)/t s'annule en 0?

Bonjour Anima,

je pense qu'a part toi, personne n'a dit cela dans cette discussion, prend le temps de bien lire ce que les membres du forum écrivent avant de te lancer dans des calculs inutiles... :we:
d'autre part j'aurais du dire qui s'annule en pi/2 j'en suis désolé mais ça ne change pas grand chose...

par **anima** » 03 Déc 2006, 16:27

tize a écrit:Bonjour Anima,

je pense qu'a part toi, personne n'a dit cela dans cette discussion, prend le temps de bien lire ce que les membres du forum écrivent avant de te lancer dans des calculs inutiles... :we:
d'autre part j'aurais du dire qui s'annule en pi/2 j'en suis désolé mais ça ne change pas grand chose...

Bah voila, on est bien d'accord. Tu as dit zéro, j'ai démontré que non. Fin de l'histoire :doh:

par **tize** » 03 Déc 2006, 16:34

anima a écrit:Bah voila, on est bien d'accord. Tu as dit zéro, j'ai démontré que non. Fin de l'histoire :doh:

Wouahou, serait-ce un début de dispute ?
alors je reprends les chose calmement et sans aucune anima sité (gentil, pas taper, pas taper :chaise: ...)
J'ai dit : "c'est la primitive qui s'annule en zéro" alors que j'aurai du dire "c'est la primitive qui s'annule en pi/2", bref , c'est une primitive qui s'annule en quelque chose...
Tu as montré que la fonction

tend vers 1 en 0 ce que tout le monde ici (je pense) sait déjà, mais sincèrement, il n'y a aucun rapport entre ce que tu montres et ce que j'ai dit tout à l'heure, non ?

par **sl4cker** » 03 Déc 2006, 16:38

Y a aussi aucun rapport avec les réciproques !?! :id:

par **tize** » 03 Déc 2006, 16:40

sl4cker a écrit:Y a aussi aucun rapport avec les réciproques !?! :id:

Pour cela il suffit d'étudier la dérivée de F i.e.

sur l'intervalle en question et de démontrer nu truc du genre strictement positive (ou négative) du coup F est strictement croissante (ou décroissante) et définie une bijection.

par **Pierre - Alexandre** » 10 Déc 2006, 22:00

J'ai le même exercice à faire, et je n'ai pas compris clairement, ce qu'il fallait faire, pourriez-vous me donnez de plus amples explications, et plus clairement.
Merci d'avance.

par **fahr451** » 11 Déc 2006, 11:46

il faut un énoncé précis pour une réponse précise :

l 'énoncé est F: [pi/6,pi] x-> intégrale (les bornes sont pi/2 et x) de sint /t

{rem si on prend [0,pi] comme ens de déf pour F c 'est plus délicat}

étudier F

on pose f(t) = sint /t

f est C° sur [pi/6 ,Pi] {le seul pb serait en 0 et il faudrait utiliser le prolongement continu}
et F est donc LA primitive de f qui q 'annule en pi/2.
F est donc de classe C1 .
F'(t) = f(t) > 0 sur ]pi/6 ,pi[ donc F est strictement croissante (continue)et est une bij de [pi/6,pi] sur [F(pi/6),F(pi)] ;
on pose G= F^(-1) ,
dérivabilité de G? on pose y = F(x) ; G est dérivable au point y vérifiant F'(x) non nul et ds ce cas G'(y) = 1/F'(x) = 1 /f(x) ;

pour x = pi/2 ; F(pi/2) = 0 et f(pi/2) = 2/pi non nul donc G est dérivable en 0 et G'(0) = pi/2
en fait G n 'est pas dérivable en J = F(pi) G a une "dérivée infinie" en J ;

par **mathelot** » 11 Déc 2006, 12:18

F est dérivable sur

et

F est donc dérivable, de dérivée non nulle et strictement croissante sur

Elle admet donc une fonction réciproque G dérivable.
et

pardon, je suis en retard dans la discussion...

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