Intégrale définie

[tetraedre]

Bonjour à tous et bonne année !

Quequ'un peut il m'aider à résoudre l'exercice suivant ?

[catamat]

Bonjour

Je ne suis pas allé au bout mais on peut factoriser le dénominateur



ce qui permet de décomposer la fonction rationnelle...

[tetraedre]

OK pour calculer une primitive , mais comment tenir compte du fait que le paramètre a est racine d'une équation du troisième degré ?

[tetraedre]

Oups , je pense que la décomposition en facteurs de catamat est fausse ....
Ce serait plutot (x-a)(x²+ax + a²+1)

[Rdvn]

Bonjour

Les deux expressions sont vraies car
a^2+1 = -1/a
sachant
a^3+a+1 = 0 (par définition de a)

Ceci dit je quitte le sujet, faute de temps, souhaitant qu'un autre membre soit plus disponible
Bon courage

[phyelec]

Bonjour,

on a une équation du troisième degré de la forme avec q et p réels dont on connait une racine à savoir a et p=q=1. Sauf erreur de ma part en utilisant la méthode de méthode de Bombelli et en disant que =a on obtient les autres racines :

et


on peut donc écrire et faire un développement en élément simple.

[tetraedre]

Il y a une seule racine réelle , x2 et x3 sont des racines complexes...

[phyelec]

oui

[tetraedre]

J’ai calculé la primitive pour une valeur de a = - 0.6823.
Cela me donne comme résultat pour l’intégrale la valeur 0.4993.
Je pense que la solution cherchée est ½ ( confirmée par un graphique Géogebra ), mais je ne sais pas le montrer…
Il,y a probablement une méthode élégante sans passer par la primitive ?

[phyelec]

pour ma part, j'ai conduit le calcul en posant ( j'ai peut-être tort) :



A+B-C=0 ( je n'ai pas calculé A,B et C)

je trouve ( sauf erreur de ma part) : A ln(2) - (B-C) ln(|-a|).

[tetraedre]

Je ne comprend pas trop le raisonnement de Phyelec :
A,B,C sont arbitraires ?
Au final cela donne quoi ?

[catamat]

Personnellement en partant de la factorisation que je donnais plus haut j'obtiens cette décomposition :

avec
où j'utilise le fait que

Pour l'integrale de la deuxième fraction utiliser un changement de variable

[tetraedre]

Avec mes notations l'intégrale donne :



Je vais me résoudre à admettre cette valeur approchée bien que je pense que la valeur exacte est 1/2...

[catamat]

Perso je pense que c'est bon, car ayant essayé avec une v.a de a ayant 10 décimales -0.6823278038 ou même 15 chiffres, je reste sur 0,499269

[catamat]

Le forum n'étant pas très actif en ce moment, je "réchauffe" ce post :
(désolé si j'ai laissé qqs erreurs de frappe...)

avec
où j'utilise le fait que

Pour l'integrale de la deuxième fraction utiliser un changement de variable

Pour trouver le résultat donné par tétraèdre on peut remarquer que d'abord que

comme , on a donc
Donc


Donc tétraèdre est parti de


avec

qui peut s'écrire :

avec

où et

Posons , et

Soit G, H et K une primitive de chacune de ces fonctions sur [0;+inf[
On a G(x)=ln|x-a|
H(x)=b ln|u(x)| pour K c'est plus long on verra ensuite
Passons à l'intégrale sur [0;-a] de g puis h;
=G(-a)-G(0)=ln|-2a|-ln|-a|=ln2
=H(-a)-H(0)=ln(a²+1)-ln(a²+1)=0

Pour k il faut écrire u(x) sous forme canonique

avec

Donc
en posant

La variable t varie de
à

de plus on a dx= d dt

d'où

Or , et
il vient :


Il ne reste plus qu'à récupérer le coeff A et les intégrales de g et h pour écrire

[catamat]

Dabord je corrige deux erreurs de frappe :

Un exposant de d qui était trop élevé...

avec


Ici c'est l'intégrale de f non pas celle de k comme indiqué dans le message




D'autre part @Phyelec, tu as écrit :

pour ma part, j'ai conduit le calcul en posant ( j'ai peut-être tort) :



A+B-C=0 ( je n'ai pas calculé A,B et C)

je trouve ( sauf erreur de ma part) : A ln(2) - (B-C) ln(|-a|).

Pour moi ce serait plutôt A+B+C=0 (après identification...)

D'autre part je suis étonné que le résultat ne comporte pas d'arctangente.

Merci pour les éclaircissements

[tetraedre]

Pour information , cet exercice a été donné à l'oral de Centrale 1933 !
La résolution d'une équation du troisième degré étant complexe ,Je pense qu'il fallait donner le résultat en fonction de a sans chercher une valeur numérique.