Intégrale de 0 à Pi de ln (x²+2x*cos(a) +1)

par **djbenny38** » 25 Juin 2007, 15:31

Bonjour !
je suis etudiant en 3éme année de mathématiques et j'ai un exercice où l'on me demande d'integrer entre 0 et Pi Ln(X²+2X cos(a) +1) avec (a) un réel. Je n'y arrive pas du tout! je sais ke le discriminant de X² +2X cos(a) +1 est négatif et dc ke X²+2Xcos(a)+1 ne s'annule pas et ke cet intégral est defini.

Si vous avez deja vu un exercice de ce type Faites moi Signe! Merci d'avance
Djbenny38 :briques:

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 15:36

on peut passer par les sommes de Riemann et factoriser X^2+2*x*cos(a)+1 dans C, on se retrouve avec une somme de logarithme que l'on simplifie....

par **djbenny38** » 25 Juin 2007, 15:42

je crois ke mon prof a parlé de 2 methodes.
l'une d'entre elle est de majorer une somme de riemann par une intégrale . mais ca me parait chaud!

Peut expliciter ta méthode???

par **cesar** » 25 Juin 2007, 15:47

djbenny38 a écrit:Bonjour !
je suis etudiant en 3éme année de mathématiques et j'ai un exercice où l'on me demande d'integrer entre 0 et Pi Ln(X²+2X cos(a) +1) avec (a) un réel. Je n'y arrive pas du tout! je sais ke le discriminant de X² +2X cos(a) +1 est négatif et dc ke X²+2Xcos(a)+1 ne s'annule pas et ke cet intégral est defini.

Si vous avez deja vu un exercice de ce type Faites moi Signe! Merci d'avance
Djbenny38 :briques:

integration par partie : on se retrouve avec une fraction rationnelle sous le signe integrale. Le reste est facile.

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 15:47

bah si tu note I ton intégrale, on a

I=lim((Pi/n)*somme(ln((k/n+exp(i*a)(k/n+exp(-i*a)),k=0..n-1),n->infini)

bon desolé j'avais la flemme de le faire en latex...

ensuite la somme de ln tu peux la regrouper en un ln de produit et faire des transformations

par **djbenny38** » 25 Juin 2007, 15:54

merci !! Je vais essayé de calculer tt ca!

par **djbenny38** » 25 Juin 2007, 17:17

kazeriahm a écrit:bah si tu note I ton intégrale, on a

I=lim((Pi/n)*somme(ln((k/n+exp(i*a)(k/n+exp(-i*a)),k=0..n-1),n->infini)

bon desolé j'avais la flemme de le faire en latex...

ensuite la somme de ln tu peux la regrouper en un ln de produit et faire des transformations

j'ai reussi la la factorisation de X²+2X cos (a) +1
Par contre je ne comprend pourquoi tu trouve Pi/n en facteur. Je presume ke k/n est le pas de ta subdivision. Enfin je ne comprend pas comment tu fais pour "ensuite la somme de ln tu peux la regrouper en un ln de produit et faire des transformations".
Merci d'avance
Djbenny 38 :marteau:

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 17:26

euh Pi/n ca vient de la formule des sommes de Riemann :

sur [a,b], la formule c'est (b-a)/n*somme(....)

k/n oui c'est une division réuglière de pas 1/n

ln(a)+ln(b)=ln(ab), ici tu généralise à la somme

par **djbenny38** » 25 Juin 2007, 18:05

j'ai fais ce ke tu m'as dit ("ln(a)+ln(b)=ln(ab), ici tu généralise à la somme")

j'obtiens I= lim(k/n)*somme(k=0..n-1)((ln(k/n)+exp(i*a))+ln((k/n)+exp(-i*a)

je separe en 2 somme et je dis que les fonctions ln((k/n)+exp(i*a)) st continues sur 0..Pi de mem pr la fonction ln((k/n)+exp(-i*a)) dc elles sont integrables et tendent vers Pi*(integrale de 0 a Pi de ln(X+exp(-i*a)+integrale de 0..Pi de ln( X+exp(i*a))..
Le pb c'est ke l'on ne connait pas de primitives avec les complexes!!!!

Est ce ke c'est juste????
Merci d'avance!!!
djbenny38

par **djbenny38** » 25 Juin 2007, 19:12

je n'y arrive vraiment pas !!
ya pas qqu'un ki pe me donne un coup de main??

par **yos** » 25 Juin 2007, 19:22

Et le conseil de César, tu as essayé?

par **djbenny38** » 25 Juin 2007, 19:39

oui g essaye le conseil de cesar
j'obtiens Pi*ln(Pi²+2*Picos(a)+1)+ integrale de 0..Pi de (2X+2cos(a))/(X²+2Xcos(a)+1)

l'ennui c ke le denominateur a des racines complexes et je ne sais pas reduire en element simples ds ce cas la!

par **B_J** » 25 Juin 2007, 19:53

Salut ;
essaie de factoriser X²+2Xcos(a)+1 dans C

par **yos** » 25 Juin 2007, 19:54

djbenny38 a écrit:l'ennui c ke le denominateur a des racines complexes et je ne sais pas reduire en element simples ds ce cas la!

Il te reste après IPP

Ecrit

et intègre chaque terme. Le dernier est une arctangente. Mais c'est du cours tout ça!

par **B_J** » 25 Juin 2007, 20:25

il y a un probleme en

pour

par **Pythales** » 25 Juin 2007, 20:26

Tu peux aussi poser

, calculer

, en déduire

sachant que

est très facile à calculer

par **B_J** » 25 Juin 2007, 20:27

tout d'abord , on doit avoir

,

donc

;

finalement

par **B_J** » 25 Juin 2007, 20:43

mathematica donne une primitive de la fonction en question
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

Intégrale de 0 à Pi de ln (x²+2x*cos(a) +1)

Intégrale de 0 à Pi de ln (x²+2x*cos(a) +1)

ln ( 1 + 2 cos x(a )+1)

ln(x²+2xcos(a)+1

suite....

suite....

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