Integrale complexe

[phillipe20]

bonsoir , comment peut on montrer que:


lintegrale(0 a 1 ,de f(x)dx est egale a (1/2iPi)int(|z|=1, de f(z)ln(z)dz).
On nous propose d'utiliser la determination du loggarithme def sur C-R+ d'argument a valeurs dans ]0,2Pi[.

[tize]

Bonjour,
je suppose évidement que f est une fonction holomorphe sur un ouvert contenant le disque unité...on a alors avec le changement de variable :
puis une I.P.P. avec et d'après la détermination du log choisie et pour finir appliquer la formule intégrale de Cauchy pour les fonctions holomorphes au terme intégrale de l'I.P.P.

[phillipe20]

j'obtient:

(1/2pi)*int(|z|=1,f(z)ln(z)dx)=int(0 a 1,f(exp(2*i*PI*t)(exp(2*i*PI*t)dx)

et là je suis bloquer

[tize]

En remarquant que si est une primitive de alors la dérivée de est on a :

Le "crochet" vaut et avec le changement de variable on a : d'après la formule intégrale de Cauchy.
Donc

[yos]

je suppose évidement que f est une fonction holomorphe sur un ouvert contenant le disque unité...

Salut Tize.
Pour f(z)ln(z) ça va être dur, quelle que soit la détermination choisie pour ln.
N'est-ce pas un problème?

[tize]

Salut Yos.
Je ne comprends pas, qu'est ce qui va être dur pour f(z)ln(z) ?
C'est f qui est holomorphe sur un ouvert contenant le disque unité pas f(z)ln(z)...ou alors je n'ai pas compris ta remarque...

[yos]

Mais c'est f(z)ln(z) qu'on intègre sur un contour à l'ntérieur duquel cette fonction n'est pas holomorphe (ni méromorphe).

[tize]

Oui, mais je ne vois pas en quoi cela pose problème...
Je crois que j'ai du mal à comprendre (manque de sommeil peut être).
C'est l'écriture qui te semble abusive ?
Si c'est cela, c'est vrai que je n'ai pas justifié le sens de cet intégrale mais elle est bien définie.
Ou alors je suis encore à côté de la plaque...dis moi si je chauffe...en attendant je vais me coucher...A demain.

[yos]

Ben ln z étant définie sur C-R+, on peut pas dire que f(z)ln(z) est continue sur le cercle (|z|=1) . C'est pourtant la condition de l'existence d'une intégrale sur un chemin. Mais je peux me tromper : c'est loin tout ça.

[Maxmau]

;) cercle trigonométrique , ;) cercle de centre O (origine) de rayon ;) orienté dans le sens rétrograde , A image de 1 , B image de ;) , AB ( bord inférieur de la coupure ) , BA (bord supérieur de la coupure )
L’intégrale de f(z)ln(z) est nulle sur ;) + AB + ;) + BA .
Sur ;) c’est l’intégrale de l’exo, l’intégrale sur ;) tend vers zéro avec ;), sur AB +BA il va rester l’intégrale sur (0,1) de f(x)dx
Maintenant tout cela est loin. Je demande l’indulgence si je raconte des conneries.

[yos]

Je suis d'accord : je crois aussi qu'il faut contourner la demi-droite d'origine O avec le contour classique que propose maxmau.

[tize]

Bonsoir et désolé pour le retard...
tout d'abord merci pour la remarque Yos car cela m'a permis de réfléchir un peu et à la vitesse ou je perds mes neurones ça ne me fait pas de mal...
Effectivement dans la définition de mon cours (complex analysis S. Lang) l'intégrale d'une fonction complexe le long d'un chemin est définie dans le cas où la fonction est continue sur ce chemin... n'a donc pas de sens excepté peut être celui de limite sur les chemins que Maxmau a indiqué.
Et c'est donc bien moi qui ai raconté une bêtise :zen: merci à vous deux donc.
Zut alors...moi qui voulais changer ma signature...