Intégrale à calculer

[glaglagla]

Bonjour,

Je bloque sur une intégrale:

I= (intégrale entre 0 et +infini) 2x / ((1+t)(x^2 + t^2)) dt pour x>0

Je pense qu'il faut séparer les numérateurs pour la calculer, c'est à dire faire I= 2x * (1/ ((1+t)(x^2 + t^2)) et ensuite 1/ ((1+t)(x^2 + t^2)) = a/(1+t) + (bt+c)/(x^2+t^2) pour ainsi trouver a, b et c par identification etc etc, mais je bloque au niveau de l'identification à cause des x dont on sait juste >0...

Comment faire ? Merci de votre aide

[JeanJ]

Si c'est x qui te gène (parce qu'on fait souivent jouer à x le rôle de variable, ce qui n'est pas le cas içi) , tu n'as qu'à remplacer le symbole x par c.
Comme cela tu n'aura plus l'impression d'avoir une autre variable que t : tout est constant sauf t (du moins, durant le temps de faire l'intégration).

[glaglagla]

Si c'est x qui te gène (parce qu'on fait souivent jouer à x le rôle de variable, ce qui n'est pas le cas içi) , tu n'as qu'à remplacer le symbole x par c.
Comme cela tu n'aura plus l'impression d'avoir une autre variable que t : tout est constant sauf t (du moins, durant le temps de faire l'intégration).

Je ne comprends pas comment faire, je fais ma décomposition et à chaque fois que je rencontre x je le remplace par c ?

[XENSECP]

pour x>0

Tu as fait la décomposition en éléments simples ?

[glaglagla]

Oui et voilà ce que je trouve :

I= a/(1+t) + (bt+c)/(x^2+t^2)
............
= t^2(a+b) + t(b+c) + a*(x^2) + c

A ce moment-là je devrais faire l'identification des polynômes mais je suis bloqué...

[glaglagla]

pour x>0

Tu as fait la décomposition en éléments simples ?

Oui et voilà ce que je trouve :

I= a/(1+t) + (bt+c)/(x^2+t^2)
............
= t^2(a+b) + t(b+c) + a*(x^2) + c

A ce moment-là je devrais faire l'identification des polynômes mais je suis bloqué...

[JeanJ]

Est-ce que tu saurais faire la décomposition en éléments simples de :
1 / ((1+t)(k²+t²)) avec k une constante donnée, donc connue ?

[glaglagla]

Est-ce que tu saurais faire la décomposition en éléments simples de :
1 / ((1+t)(k²+t²)) avec k une constante donnée, donc connue ?

Je sais juste faire comme je l'ai écrit dans mon dernier message, peux-tu m'expliquer comment faire ou alors me montrer le calcul que je comprenne mieux ?

[XENSECP]

Enfin là c'est bon. x est vu comme une constante quoi.

Après faut trouver a et b ;)

[glaglagla]

Enfin là c'est bon. x est vu comme une constante quoi.

Après faut trouver a et b

J'ai trouvé a b et c :

a=c= 2x/(1+x^2) et b=-a si je ne me suis pas trompé.

J'ai remplacé a b et c par leurs valeurs dans l'expression décomposée mais comment faire ensuite pour intégrer tout ça ?

[glaglagla]

En refaisant le calcul je trouve en fait a=1, b=-1 et c=1

Est-ce possible ou je me suis trompé avec les x ?

[fibonacci]

Bonjour;

[JeanJ]

@ fibonacci:

ce n'est pas vraiment un bon service à rendre que de donner la décomposition complète et toute faite.
Bien sûr, glaglagla va y trouver un intérêt immédiat et va apprendre quelque chose. Mais il aurait appris beaucoup plus en arrivant à bout de la décomposition par lui même, sans compter la confiance qu'il aurait acquise par sa propre réussite.

[XENSECP]

@ fibonacci:

ce n'est pas vraiment un bon service à rendre que de donner la décomposition complète et toute faite.
Bien sûr, glaglagla va y trouver un intérêt immédiat et va apprendre quelque chose. Mais il aurait appris beaucoup plus en arrivant à bout de la décomposition par lui même, sans compter la confiance qu'il aurait acquise par sa propre réussite.

+1 ! :hum: