Intégrale avec rotation d'axes

[plikskin]

Bonjour !

Je dois calculer la limite quand n tend vers l'infini de n^2*(intégrale entre 0 et 1)(intégrale entre y et 2-y)[((x^2-y^2)/4)^n]*dx*dy

Et j'ai comme indice qu'il faut changer de variable en faisant pivoter les axes d'un angle de pi/2.

Je n'ai jamais vu ça en cours, pourriez-vous m'expliquer comment cela fonctionne ? :)

[DamX]

Bonjour !

Je dois calculer la limite quand n tend vers l'infini de n^2*(intégrale entre 0 et 1)(intégrale entre y et 2-y)[((x^2-y^2)/4)^n]*dx*dy

Et j'ai comme indice qu'il faut changer de variable en faisant pivoter les axes d'un angle de pi/2.

Je n'ai jamais vu ça en cours, pourriez-vous m'expliquer comment cela fonctionne ?

Hello,

A mon avis ce n'est pas une rotation de pi/2 (qui ne va rien changer a tes intégrales a part échanger x et y en gros), mais plutôt pi/4 non ?

la rotation de pi/4, Ca va te donner x'=(x+y)/rac(2) et y'=(y-x)/rac(2) (fais une projection des anciens axes sur les nouveaux pour le voir). En ce qui concerne le changement de variable à plusieurs dimensions (comme c'est le cas ici), renseigne toi sur le jacobien ! Le déterminant du jacobine multiplie le nouvel élément d'intégration (ici ça doit être +1, donc c'est pratique !),

Et surtout si tu veux savoir pourquoi cette fameuse rotation va simplifier ton calcul, regarde que ta fonction a intégrer est ((x^2-y^2)/4)^n=((x+y)(x-y)/4)^n = (x+y)^n(x-y)^n/4^n, c'est pour Ca que tu as envie que tes nouvelles variables soient x+y et x-y !

Enfin, le point le plus technique sera au final de bien décrire le domaine d'intégration dans le nouveau système de variable !

A toi de jouer !

Damien

[plikskin]

Hello,

A mon avis ce n'est pas une rotation de pi/2 (qui ne va rien changer a tes intégrales a part échanger x et y en gros), mais plutôt pi/4 non ?

la rotation de pi/4, Ca va te donner x'=(x+y)/rac(2) et y'=(y-x)/rac(2) (fais une projection des anciens axes sur les nouveaux pour le voir). En ce qui concerne le changement de variable à plusieurs dimensions (comme c'est le cas ici), renseigne toi sur le jacobien ! Le déterminant du jacobine multiplie le nouvel élément d'intégration (ici ça doit être +1, donc c'est pratique !),

Et surtout si tu veux savoir pourquoi cette fameuse rotation va simplifier ton calcul, regarde que ta fonction a intégrer est ((x^2-y^2)/4)^n=((x+y)(x-y)/4)^n = (x+y)^n(x-y)^n/4^n, c'est pour Ca que tu as envie que tes nouvelles variables soient x+y et x-y !

Enfin, le point le plus technique sera au final de bien décrire le domaine d'intégration dans le nouveau système de variable !

A toi de jouer !

Damien

Merci ! J'ai bien fait la substitution pour me retrouver avec (1/2)^n*x'^n*y'^n et j'ai trouvé le déterminant du Jacobien qui fait bien 1. Pour les bornes j'ai essayé mais je crois que je fais faux. J'ai mis que l'intégrale par rapport à x' était définie entre rac(2)*y et rac(2) mais pour la deuxième intégrale j'ai des x dans mes bornes. Dois-je évaluer mes bornes pour cette dernière en la valeur des bornes de l'intégrale de x' ? In extenso dire que y' = (y-rac(2)*y)/rac(2) évalué en 0 pour la borne inférieure de l'intégrale par rapport à y ?

[DamX]

Merci ! J'ai bien fait la substitution pour me retrouver avec (1/2)^n*x'^n*y'^n et j'ai trouvé le déterminant du Jacobien qui fait bien 1. Pour les bornes j'ai essayé mais je crois que je fais faux. J'ai mis que l'intégrale par rapport à x' était définie entre rac(2)*y et rac(2) mais pour la deuxième intégrale j'ai des x dans mes bornes. Dois-je évaluer mes bornes pour cette dernière en la valeur des bornes de l'intégrale de x' ? In extenso dire que y' = (y-rac(2)*y)/rac(2) évalué en 0 pour la borne inférieure de l'intégrale par rapport à y ?

Hello,

Désolé pour la réponse tardive. Pour trouver les nouvelles bornes, nul besoin de calcul douloureux dans cet exercice ! Un dessin suffit !
Trace le domaine d'intégration dans les axes d'origine : y entre 0 et 1 et x entre y et 2-y. Ca te fait un triangle isocèle de sommets A = (0,0), B = (1,1) et C= (2,0), qui de plus est rectangle en B.

A présent trace les nouveaux axes (rotation d'Angle pi/4), tu vois que le nouvel axe Ox' suit parfaitement le coté AB, et l'axe Oy' est perpendiculaire, et est donc parallèle au coté BC. Bref dans le nouveau repère notre triangle est très facilement decrivable ! x' de 0 à racine(2) (longueur de AB) et pour chaque x', y' peut aller de ... à ... ?

Damien

[plikskin]

Hello,

Désolé pour la réponse tardive. Pour trouver les nouvelles bornes, nul besoin de calcul douloureux dans cet exercice ! Un dessin suffit !
Trace le domaine d'intégration dans les axes d'origine : y entre 0 et 1 et x entre y et 2-y. Ca te fait un triangle isocèle de sommets A = (0,0), B = (1,1) et C= (2,0), qui de plus est rectangle en B.

A présent trace les nouveaux axes (rotation d'Angle pi/4), tu vois que le nouvel axe Ox' suit parfaitement le coté AB, et l'axe Oy' est perpendiculaire, et est donc parallèle au coté BC. Bref dans le nouveau repère notre triangle est très facilement decrivable ! x' de 0 à racine(2) (longueur de AB) et pour chaque x', y' peut aller de ... à ... ?

Damien

Je l'ai dessiné. Pour garder la même forme que le problème j'intègre par rapport à x en premier. Donc y va de 0 à rac(2) et x va de 0 à y je pense. Merci Damien !

Edit : J'ai trouvé 1/(n+1)^2, ça a l'air pas mal. ^^

[DamX]

Je l'ai dessiné. Pour garder la même forme que le problème j'intègre par rapport à x en premier. Donc y va de 0 à rac(2) et x va de 0 à y je pense. Merci Damien !

Edit : J'ai trouvé 1/(n+1)^2, ça a l'air pas mal. ^^

Hello,

Je ne suis pas vraiment d'accord avec tes bornes (meme si au final je pense que ça te donnera le meme résultat. En intégrant d'abord sur y' si tu veux, je dirais que y' va de -rac(2) à 0 et x' va de -y' à rac(2). Non ?

Damien

[plikskin]

Hello,

Je ne suis pas vraiment d'accord avec tes bornes (meme si au final je pense que ça te donnera le meme résultat. En intégrant d'abord sur y' si tu veux, je dirais que y' va de -rac(2) à 0 et x' va de -y' à rac(2). Non ?

Damien

Ah oui tu as raison je me suis trompé dans mon dessin ! ^^