Intégrale avec centre de symétrie
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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antoine1111
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par antoine1111 » 10 Mar 2012, 17:53
Bonjour!
J'ai un peu hésité avant de mettre ce post dans la section "supérieur" car je me demande si on ne fait pas cela en terminale.
Quoi qu'il en soit, voici ma question:
On considère une fonction f qui admet un centre de symétrie (c;f(c)). Comment démontrer proprement que l'intégrale de cette fonction sur un segment [a;b] centré en c vaut (b-a)*f(c)?
On m'a dit de faire un changement de variable affine mais je vois mal lequel faire...
Merci d'avance!!
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antoine1111
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par antoine1111 » 10 Mar 2012, 17:58
antoine1111 a écrit:Bonjour!
J'ai un peu hésité avant de mettre ce post dans la section "supérieur" car je me demande si on ne fait pas cela en terminale.
Quoi qu'il en soit, voici ma question:
On considère une fonction f qui admet un centre de symétrie (c;f(c)). Comment démontrer proprement que l'intégrale de cette fonction sur un segment [a;b] centré en c vaut (b-a)*f(c)?
On m'a dit de faire un changement de variable affine mais je vois mal lequel faire...
Merci d'avance!!
Je pensais utiliser le théorème sur la convergence des suites de Riemann et y traduire le fait que f possède un centre de symétrie.
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tennessefr
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par tennessefr » 10 Mar 2012, 18:07
antoine1111 a écrit:Bonjour!
J'ai un peu hésité avant de mettre ce post dans la section "supérieur" car je me demande si on ne fait pas cela en terminale.
Quoi qu'il en soit, voici ma question:
On considère une fonction f qui admet un centre de symétrie (c;f(c)). Comment démontrer proprement que l'intégrale de cette fonction sur un segment [a;b] centré en c vaut (b-a)*f(c)?
On m'a dit de faire un changement de variable affine mais je vois mal lequel faire...
Merci d'avance!!
En gros tu fais une sorte de translation de l'origine vers ton point (c;f(c)). Avec (c;f(c)) come origine, ton intégrale vaudra 0 car en cas de symétrie centrale à l'origine f(x)=-f(-x).
en formule ça donne :
On pose x=y+c donc f(x)=f(y)+f(c) (il faut poser des conditions dessus je pense).
donc (integrale entre a et b)f(x)dx=(intégrale entre a-c et b-c)f(y)dy +(intégrale entre a-c et b-c)f(c)dy
c'est égal à (intégrale entre a-c et b-c)f(c)dy car l'autre intégrale vaut 0.
et (intégrale entre a-c et b-c)f(c)dy=f(c)*(b-c-(a-c))=f(c)*(b-a).
Normalement c'est bon comme ça.
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antoine1111
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par antoine1111 » 10 Mar 2012, 18:28
f(x)=f(y)+f(c)?
c'est faux non?
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Judoboy
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par Judoboy » 10 Mar 2012, 19:54
la fonction f(x+c) - f(c) est impaire, y a plus qu'à faire 2-3 changements de variable bidon et c'est fini.
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