Intégrale avec centre de symétrie

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antoine1111
Messages: 3
Enregistré le: 10 Mar 2012, 17:48

Intégrale avec centre de symétrie

par antoine1111 » 10 Mar 2012, 17:53

Bonjour!

J'ai un peu hésité avant de mettre ce post dans la section "supérieur" car je me demande si on ne fait pas cela en terminale.
Quoi qu'il en soit, voici ma question:
On considère une fonction f qui admet un centre de symétrie (c;f(c)). Comment démontrer proprement que l'intégrale de cette fonction sur un segment [a;b] centré en c vaut (b-a)*f(c)?
On m'a dit de faire un changement de variable affine mais je vois mal lequel faire...

Merci d'avance!!



antoine1111
Messages: 3
Enregistré le: 10 Mar 2012, 17:48

par antoine1111 » 10 Mar 2012, 17:58

antoine1111 a écrit:Bonjour!

J'ai un peu hésité avant de mettre ce post dans la section "supérieur" car je me demande si on ne fait pas cela en terminale.
Quoi qu'il en soit, voici ma question:
On considère une fonction f qui admet un centre de symétrie (c;f(c)). Comment démontrer proprement que l'intégrale de cette fonction sur un segment [a;b] centré en c vaut (b-a)*f(c)?
On m'a dit de faire un changement de variable affine mais je vois mal lequel faire...

Merci d'avance!!


Je pensais utiliser le théorème sur la convergence des suites de Riemann et y traduire le fait que f possède un centre de symétrie.

tennessefr
Membre Naturel
Messages: 19
Enregistré le: 21 Oct 2007, 18:21

par tennessefr » 10 Mar 2012, 18:07

antoine1111 a écrit:Bonjour!

J'ai un peu hésité avant de mettre ce post dans la section "supérieur" car je me demande si on ne fait pas cela en terminale.
Quoi qu'il en soit, voici ma question:
On considère une fonction f qui admet un centre de symétrie (c;f(c)). Comment démontrer proprement que l'intégrale de cette fonction sur un segment [a;b] centré en c vaut (b-a)*f(c)?
On m'a dit de faire un changement de variable affine mais je vois mal lequel faire...

Merci d'avance!!


En gros tu fais une sorte de translation de l'origine vers ton point (c;f(c)). Avec (c;f(c)) come origine, ton intégrale vaudra 0 car en cas de symétrie centrale à l'origine f(x)=-f(-x).
en formule ça donne :
On pose x=y+c donc f(x)=f(y)+f(c) (il faut poser des conditions dessus je pense).
donc (integrale entre a et b)f(x)dx=(intégrale entre a-c et b-c)f(y)dy +(intégrale entre a-c et b-c)f(c)dy
c'est égal à (intégrale entre a-c et b-c)f(c)dy car l'autre intégrale vaut 0.
et (intégrale entre a-c et b-c)f(c)dy=f(c)*(b-c-(a-c))=f(c)*(b-a).

Normalement c'est bon comme ça.

antoine1111
Messages: 3
Enregistré le: 10 Mar 2012, 17:48

par antoine1111 » 10 Mar 2012, 18:28

f(x)=f(y)+f(c)?
c'est faux non?

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 10 Mar 2012, 19:54

la fonction f(x+c) - f(c) est impaire, y a plus qu'à faire 2-3 changements de variable bidon et c'est fini.

 

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