Intégrale ardue

[Pythales]

Bonjour

Je cherche toujours à démontrer que

Il faut (paraît-il) utiliser
et

Merci de vos idées

[Ben314]

Salut,

1) A froid, je vois vraiment pas trop comment s'y prendre avec un truc pareil mélangeant du polynomial, de l'hyperbolique et du trigonométrique sans rapports apparents (en particulier entre le coté polynomial et la dérivé du trigo/hyperbolique).

2) D'un autre coté, Maple (avec 20 chiffres de précision) me donne (I= intégrale ; V=pi/8ln(pi²/8) ) :
I = 0.083462781613331909631
V=0.082473966068438750599
qui sont différents dés le 2em chiffre significatif ce qui me semble "un peu beaucoup" comme erreur (mais pas impossible du tout).

Enfin, le 1) plus le 2), ça m'incite quand même à poser la question "est tu sûr et certain de ton énoncé ?"

[Pythales]

J'ai trouvé ça sur un forum.
On ne peut jamais être sûr à 100% de ce qu'on trouve, surtout pour un problème aussi pointu.
Je pense qu'il y a "une part" de vérité, dans la mesure où la fonction arctg z s'exprime au moyen d'un log.

[Ben314]

A mon avis, faudrait quand même trouver d'autres moyens de faire des approximations numérique (si possible avec des trucs dont on sait qu'ils n'utilisent pas les même méthodes que Maple) : que Maple se plante à la 3em décimale alors qu'on lui en demande 20 de précision, c'est pas impossible, mais c'est quand même pas mal louche, non ?

[Pythales]

Je suis d'accord.

(C'est peut-être un canular ...)

[Pythales]

Désolé, après vérification je m'aperçois que j'avais oublié un Arctg.
J'ai corrigé le sujet.

Avec mes excuses

P.

[Pythales]

Up !

[Pythales]

En utilisant j'arrive à établir que la quantité à intégrer vaut :

et je suppose qu'il faut intégrer cette fonction le long d'un chemin convenablement choisi.
La difficulté est (entre autres) de trouver le point critique logarithmique

[Ben314]

A mon sens, le problème, c'est aussi (surtout...) que, partant de là :

Si tu veut passer à une intégrale le long d'un lacet du style , ben il me semble qu'il faudrait qu'il y ait au départ un truc à peu prés égal à du devant le log., sinon le ? de la formule va être archi abominable.
(c'est ce que je voulais dire dans mon premier post. avec mon "pas de lien en particulier entre le coté polynomial et la dérivé du trigo/hyperbolique").
Sauf que f'(z) c'est et ça apparait pas trop dans l'intégrale de départ....

Bref, je vois toujours pas par quel bout s'y prendre (j'ai vaguement regardé du coté des développement en séries entières, mais ça a pas l'air de donner grand chose...)

[Pythales]

Merci de t'y intéresser. Je continue à chercher de mon côté.

Tu as regardé l'autre intégrale ?

[Ben314]

oui, mais j'y "voie" rien non plus.
Sur celle là, j'ai vérifié numériquement et ça semble parfaitement juste, mais je suis complètement sec sur la méthode...

[Pythales]

C'est pour ça que c'est intéressant.

En dérivant, on voit des choses intéressantes ...

[Pythales]

Alors, personne ?

[Lostounet]

Up..
Peut-être que c'est très astucieux.
Ça me rappelle les intégrales de Frullani un peu du fait qu'il y a du ln et un mix d'arctan/x:
https://www.google.fr/url?sa=t&source=w ... 4KFmQBE_TA

Mais bon

[Pythales]

Je ne pense pas que ça serve.

Mais la référence est intéressante.

[Lostounet]

Bonjour à tous,

J'ai fini par trouvé la solution dans ce document:

https://arxiv.org/pdf/1402.3830v1.pdf

Un mix de DSE et de contour bien choisis

bonne lecture
Reste plus qu'à adapter la démarche pour l'autre intégrale

[Pythales]

Un grand merci. Je vais étudier ça.

Dans le document précédent, sur les intégrales deFrullani, il y a une référence qui m'intéresse, celle notée [Tr] (J.Trainin ...)
Sais-tu comment on peut y avoir accès ?

cdt

[Lostounet]

Bonsoir Pythalès,
Consulte ta boite MP

[Pythales]

Merci beaucoup Lostounet.

Bien récupéré.

Amicalement

P.

[Lostounet]

Maintenant deux questions s'imposent!
1) comment adapter la méthode (si c'est possible) à l'autre intégrale très ardue

2) plus intéressant: comment ces exercices ont-ils été "conçus" (on pourrait imaginer qu'il existe une méthode pour créer ce genre d'exercices... personne ne s'est réveillé pour imbriquer une arctan et argth dans une arctan tout de même)