Intégrabilité d'un produit de fct

[rpgsonar]

Bonjour !

Je n'arrive pas à résoudre cette question:

On a f et g des fct définies, continues et intégrables sur [0;+l'infini[
On veut montrer que exp(-t)f(t)g(t) est intégrable

on sait que e(-t)f²(t) et e(-t)g²(t) sont intégrables sur [0, +l'infini[

Comment faire?
Merci de votre aide

[barbu23]

Bonjour :
la fonction : est definie et continue sur :
Si tu fais un peu de calcul , tu trouveras que : est decroissante et bornée sur , on a exactement :
Par conséquent : ( D'après l'inegalité de Holder )

JE te laisse conclure : :happy2:
Amicalement ! :happy2:

[kazeriahm]

La dernière inégalité est fausse il manque des carrés sur f et g à droite. On ne peut pas conclure avec ta méthode barbu, on ne sait pas si f^2 ou g^2 sont intégrables.

Il suffit de dire que f et g sont dans L^2(R+) pour la mesure exp(-t)dt et que donc leur produit est L^1