Injectivité d'une application (à l'aide d'une dérivée 2nde)

[Anonyme]

Message à supprimer. Merci.

[Anneauprincipal]

Attention à ce que tu manipules. L'injectivité de T ne revient pas à montrer que T(f) est injective, T(f) est une fonction de R dans R alors que T va de C(R,R) dans C(R,R).

De plus T étant dans L(E), prouver son injectivité revient à prouver que son noyau est réduit à {0} (de E).

[Anonyme]

Merci pour ta réponse. Mais dans ce cas, comment s'y prendre? Je n'arrive pas à faire le lien avec la dérivée seconde...

[Anneauprincipal]

Je crois qu'il faut reprendre ton calcul de dérivée, car je trouve T(f)''=T(f)+f.

A partir de là il est simple de montrer que T(f)=0 ==> f=0.

[Anonyme]

Merci pour ta réponse, question résolue. Par contre, je ne comprend pas pourquoi pour prouver l'injectivité de T il suffit de prouver que Ker (T) = {O}?

[Anneauprincipal]

De rien ;).

Pour ta question c'est une technique standard pour les applications linéaires, tu as dû voir un théorème comme ça en cours.

(en fait f(x)=f(y) f étant linéaire cela équivaut à f(x-y)=0 et noyau réduit à 0 <=> x=y si f(x)=f(y) ce qui est la déf de l'injectivité)

[Anonyme]

Oui on vient de le voir aujourd'hui :).

Par contre je bloque de nouveau quelques question plus tard...

On nous demande de prouver que T(f)=k*f ==> f=0 k étant un réel non nul.
On nous indique de penser à dériver 2 fois. Je me casse la tête depuis un long moment mais je n'arrive toujours pas à trouver...

[Anonyme]

Personne? :(

[Anneauprincipal]

Je t'avoue que je ne comprends pas bien leur indication puisque sauf erreur on tombe sur : (k+1)f=kf''... Ce qui n'implique pas que f=0. Ce qui d'ailleurs curieux c'est que dans ce cas f doit nécessairement être .

Bref j'y réfléchirai en cours et je te donne ma conclusion ce soir. Est ce que tu peux indiquer les questions intermédiaires ?

[Anonyme]

On demande si f est surjective, j'ai trouvé que oui

[Anneauprincipal]

Tu veux dire T surjective ?
Qu'as tu donné comme argument pour dire qu'elle était surjective ?