Injection

par **Taylor 07** » 08 Juil 2010, 19:25

Soit f : N vers N une application injective, telle que pour tout n de N, f(n)
Moi je me suis dit que :

Soit n et n' dans N alors f(n)=f(n') implique que n=n' mais après ??

par **Finrod** » 08 Juil 2010, 19:31

La restriction à tout sous ensemble fini de N de la forme [0,n] est bien définie car f(n)
Tu as un truc injectif sur un ensemble fini.... donc ....

edit: prouve seulement que c'est bijectif. Reste à montrer bijection croissante dans N = Identité.

par **Taylor 07** » 08 Juil 2010, 19:34

Les nombres sont "eux même" ????

par **girdav** » 08 Juil 2010, 19:34

Bonjour,
on peut raisonner par récurrence.

par l'hypothèse et comme

est un entier, cela permet de fixer se valeur.
Si pour

on a

, il faut montrer que

. On a déjà que

.
Vois-tu pourquoi la dernière inégalité ne peut être est stricte?
Édit... (c'est normal que tu ne le voyais pas puisque c'était faux)

par **Taylor 07** » 08 Juil 2010, 19:37

Franchement non

par **Ben314** » 08 Juil 2010, 23:01

Un petit rappel : dire que f est injective signifie que, pour tout a,b, si f(a)=f(b) alors a=b. Par contraposition, cela signifie aussi que, si a est différent de b alors f(a) est différent de f(b).

Vu l'hypothèse de récurrence faite, on a f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2, ... , f(n)=n.
Comme f est supposée injective et que n+1 est différent de 0, on a f(n+1) différent de f(0)=0.
Mais n+1 est aussi différent de 1 donc f(n+1) différent de f(1)=1 ... etc etc
Et vu que f(n+1)=<n+1, ben y'a pas trop guére le choix...

par **Taylor 07** » 09 Juil 2010, 00:30

girdav a écrit:Bonjour,
on peut raisonner par récurrence.
par l'hypothèse et comme est un entier, cela permet de fixer se valeur.
Si pour on a , il faut montrer que . On a déjà que .
Vois-tu pourquoi la dernière inégalité ne peut être est stricte?
Édit... (c'est normal que tu ne le voyais pas puisque c'était faux)

Comment ça

, c'est pas le contraire ?

par **Finrod** » 09 Juil 2010, 08:13

Taylor 07 a écrit:Comment ça , c'est pas le contraire ?

Tu as les deux.

f(0) est positif car c'est une fonction de N dans N (et non dans Z)

L'autre inégalité est donné en hyp, oui.

par **girdav** » 09 Juil 2010, 09:08

Un petit truc, qui n'a rien à voir avec le problème : pourquoi dans la citation d'un message le "\leq" apparaît-il comme un "<"?

par **Taylor 07** » 09 Juil 2010, 09:13

C'est pour dire inférieur ou égal (surtout le égal)

par **girdav** » 09 Juil 2010, 09:30

Taylor 07 a écrit:C'est pour dire inférieur ou égal (surtout le égal)

Je sais, mais le code

est par exemple f(n)\leq n et il est affiché un < (mais seulement dans la citation, pas dans le message original).

par **Finrod** » 09 Juil 2010, 11:40

What ?

Dans la citation que j'ai fait au message 8, le \leq est resté \leq.

Le copier collé marche jamais sur les formules Tex mais les citations, jamais vu de problème.

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