Injection surjection

[Joker62]

Soit E un ensemble de cardinal n
Et F un ensemble de cardinal p tel que n <= p

Alors une injection de E dans F consiste en fait à faire un p-arrangement des n élements du départ.

Le premier élément à p possibilités
Le deuxième plus que p-1 vu que c'est une injection
.
.
.
L'avant dernier plus que p-(n-1) choix possibles
Le dernier, p-n choix possibles

On démontre ainsi que le nombre d'injection de E dans F est de p! / (p-n)! =

[ksouna]

Enfin j'ai un peu comprit merci Joker .En fait p! / (p-n)! c'est bien ce que je chercher mais c'est une definition ou faut la demontrer car je ne voit pas comment !!

[ksouna]

Maintenant j'ai les meme question mais au niveau de la surjection .
Si les deux ensemble(arrivee et depart) sont vide il ne peut y avoir de surjection ni d'injection mais plusieur internaute m'ont contredit sans dire de raison .J'aimerai en savoir un plus sur ce point svp .Merci

[fahr451]

bonsoir

il ya une unique application du vide dans le vide

elle est bijective donc surjective

[ksouna]

Mais dans mon devoir on me demande le nombre de surjection c'est pour sa que je pense qu'il y en a aucune.
De plus dans le cas d'une surjection si n=card(ensDepart) < p=card(ensArrive) c'est tout a fait posssible d'avoir le nombre de surjection ?
Je me pose les meme question que pour le cas de l'injection .
Si on definit n! / (n-p)! = i(p,n) (p au dessus et n en dessous de I)
Donc si p>n ,on ora n-p<0 mais est -ce possible de calculer (n-p)! avec n-p negatif?

[fahr451]

bonjour

3 pages de réponses de la part de personnes diverses

quelle est la question précise que tu as ?
avec énoncé précis
(rem inutile de m' envoyer des messages privés)

[ksouna]

On considere les ensembles E={e1,e2,...,en} et F={f1,f2,...,fp}
p
On note I le nombre d'injection de E dans F
n

0 p
Quest 1:/ Que vaut I ? I si n>p ?
0 n

Et pour les surjection :
________p
On note S le nombre de surjections de E dans F
________n


Question : On prend n>=p>=2, et on pose E'=E \{en}

__________________n
a/ si n=p, que vaut S ?
__________________n


b/ si n=p, en utilisant les surjections de E' dans F, montrer que


_p_____p-1_____p
S = p(S + S )
_n_____n-1_____n-1

Dsl pour la redationc j'ai pas pu faire mieu !!

Merci beaucoup fahr451

[fahr451]

hum suis du genre plutôt pas regardant pour la présentation ( ah tex ...dans une autre vie pour moi)
mais là j'ai du mal à comprendre

notations et questions

S(n,p) notation simple
a) S(n,n) = n! car une surjection est exactement ici une bijection

b) je présume que c'est n>p et non = !
question délicate

on sépare les surjections de E dans F en deux genres distincts

1) celles pour lesquelles l'image de e(n) n'a qu 'un seul antécédent c'est donc en

2) celles pour lesquelles l'image de e(n) a plusieurs (au moins 2) antécédents

on compte celles du genre 1
construire une telle surjection c'est :
choisir l'image de e(n) p façons de le faire on la note b (edit)
et ensuite construire une surjectionde E\{e(n)} dans F\{b}il yen a
S(n-1,p-1)
donc pS(n-1,p-1) surjection du genre 1)

je te laisse compter les surjections du genre 2)

[Patastronch]

On considere les ensembles

On note le nombre d'injection de dans



1) Que vaut ? si ?

selon Fahr.
si . On peut démontrer par récurence que si il existe une injection de dans alors

Et pour les surjection :

On note le nombre de surjections de dans

2) On prend , et on pose


a/ si , que vaut ?

Fahr t'as répondu, si elle est surjective alors elle est bijective lorsque . Si tu veux pas t'embeter a compter les bijections de E dans E, utilise la formule de Joker de dénombrement des injections, puisque si elle est bijective elle est injective.

b/ si , en utilisant les surjections de dans , montrer que



t'as du te tromper dans ta question, a deja été traité.

si c'est ca se corse.

Edit : grilled by Fahr Bien la derniere fois que je rédige un truc en latex pour quelqu'un d'autre !