Injection surjection

[canard]

Salut

Je voudrais savoir si ces affirmations sont vraies ou fausses

Le prolongement d'une surjection est une surjection
Le prolongement d'une injection est une injection
La restriction d'une surjection est une surjection.

[abcd22]

Bonsoir !
La première affirmation est vraie : si f : E->F est surjective, et qu'on la prolonge à un ensemble plus grand que E, comme chaque élément de F a déjà un antécédent dans E, il en aura aussi dans le nouvel ensemble.
La deuxième est fausse : si tous les éléments de E ont des images différentes par f, et qu'on rajoute des éléments à l'ensemble de départ, ils peuvent être envoyés sur un élément de F qui était déjà dans l'image de E, par exemple f=Id : {0,1}->{0,1} est injective, si on la prolonge en g :{0,1,2}->{0,1} avec g(2)=0, c'est plus injectif.
La troisième est fausse aussi : puisqu'on réduit l'ensemble de départ, l'image risque d'être plus petite aussi, si on reprend f=Id : {0,1}->{0,1} et qu'on la restreint à {0}, la restriction n'est pas surjective.

[Nightmare]

Bonsoir

Le plus simple est de trouvé des contres exemples :

"Le prolongement d'une surjection est une surjection"

Considère la fonction carré de et la fonction carré de

:happy3:

[Nightmare]

Arf pardon, mon contre exemple est bien sûr pour l'injectivité