Injection et matrices diagonales

[Azuriel]

Alors voila on me donne x->P(x) qui est injective, P un polynome et deux matrices diagonalisable A et B tel que P(A)=P(B), montrer que A=B.

Alors ce qui m'embete c'est que je le resoud sans utiliser le fait que ce soit diagonale etc alors j'aimerai savoir où j'ai faut.

En evaluant A en un nombre X alors j'ai P(A(X))=P(B(X)) or pusque P est injective alors A(X)=B(X) et donc avec ce raisonnement en evaluant sur des vecteurs d'une base par exemple j'ai que A=B...où est l'erreur ? :D

[yos]

En evaluant A en un nombre X

A s'évalue sur des vecteurs, pas des nombres. Et P(vecteur)=pas de sens.

[ThSQ]

Azuriel, j'ai l'impression que tu confonds certaines choses.
Déjà diagonale et diagonalisable c'est pas pareil :triste: (lapsus scribae j'imagine ).

"X alors j'ai P(A(X))=P(B(X))"
Ca n'est pas correct à mon avis.
- A(X) avec X nombre n'a pas de sens. Avec X vecteur colonne oui éventuellement.
P(A) est une matrice, si X est un vecteur, P(A)(X) a un sens mais P(A(X)) non sauf cas dénégéré en dim. 1).

Pour revenir à l'exo faut pas en plus supposer que A et B commutent ??

Si A et B commutent elles sont diagonalisables dans une même base :


alors et pareil pout P(B).
On fait l'égalité + injectivité de P : D_1 = D_2 et A = B.

[Azuriel]

Non il n'y a aucun renseignement sur le fait qu'elle commute. C'est d'ailleur quelque chose qui me gene car rien me dit qu'elle sont diagonalisable dans la meme base donc c'est embetant...