Infinité d'applications linéaires ?

[Fantasi0]

Salut !
Je dois montrer qu'il existe une infinité d'application linéaire g: R3->R2 dont le noyau est engendré par ces trois vecteur,

u1 = (1,0,-3)
u2 = (0,5,2)
u3 = (1,10,1)

Et aussi que L'image de ces applications est inchangée (comme le noyau est de dim2, l'image des application est forcément de dim1, correct ?)
Mais je n'arrive pas à démontrer le fait qu'il y ait une infinité d'applications, comment dois-je faire ?

Merci d'avance !

[Quidam]

Salut !
Je dois montrer qu'il existe une infinité d'application linéaire g: R3->R2 dont le noyau est engendré par ces trois vecteur,

u1 = (1,0,-3)
u2 = (0,5,2)
u3 = (1,10,1)

Et aussi que L'image de ces applications est inchangée (comme le noyau est de dim2, l'image des application est forcément de dim1, correct ?)
Mais je n'arrive pas à démontrer le fait qu'il y ait une infinité d'applications, comment dois-je faire ?

Merci d'avance !

Ben, tu peux garder u1 et u2, linéairement indépendants, et trouver un vecteur u'3 indépendant de u1 et u2. Alors le système des trois vecteurs u1,u2 u'3 est générateur de R3 !
Et tu peux définir une infinité d'applications linéaires par :
f(u1)=0
f(u2)=0
f(u'3)=V
V étant n'importe quel vecteur non nul !

Et aussi que L'image de ces applications est inchangée

Je pense que tu as mal recopié ton problème. En définissant f(u'3)=a*V, et en gardant V fixe (et a variable), on peut effectivement créer une infinité d'applications distinctes dont l'image serait inchangée. Mais on peut aussi laisser toute liberté à V, et alors l'image de ces applications serait changée à chaque fois que l'on choisirait un nouveau vecteur V non colinéaire au précédent !

[Fantasi0]

oui en effet j'ai mal recopié. L'exercice prétend que la dimension est inchangée, c'est tout.
Mais je ne comprends pas pourquoi il faudrait un troisième vecteur linéairement indépendant. Ne peut-on pas simplement dire que le noyau engendré par les vecteur u1 et u2 (dans ce cas on se passerait de u3) est de dimension 2 ?

[Quidam]

oui en effet j'ai mal recopié. L'exercice prétend que la dimension est inchangée, c'est tout.
Mais je ne comprends pas pourquoi il faudrait un troisième vecteur linéairement indépendant. Ne peut-on pas simplement dire que le noyau engendré par les vecteur u1 et u2 (dans ce cas on se passerait de u3) est de dimension 2 ?

Pour définir simplement ton application linéaire sur la totalité de l'espace vectoriel, tu dois définir ce qu'est l'image de n'importe quel vecteur. Donc, on dois introduire un troisième vecteur formant une base, de manière à définir entièrement l'application. Par contre, la seule contrainte sur f(u'3)=V est qu'il ne soit pas nul. Rien n'empêche qu'il soit linéairement dépendant de u1 et u2. Par contre, si V est nul, alors le noyau n'est pas limité à l'espace engendré par u1 et u2 comme l'exige l'énoncé, il serait égal à l'espace entier !