Infimum {x;y}

par **bipbip8** » 16 Oct 2010, 23:27

Bonjour,

Je souhaite montrer que inf{x;y}=

(x+y-|x-y|)

On sait que (x+y)/2 est le milieu de x et y ; et (x-y)/2 est égal à epsilon mais je n'arrive pas à avancer plus loin pour le démontrer rigoureusement. En fait l'infimum est x mais quelle piste pour le démontrer ?

par **Ben314** » 16 Oct 2010, 23:30

Salut,
A mon avis, c'est pas la peine de se faire c... avec des tas de considération compliquées :
Si xSi x>=y, combien vaut le terme à gauche du = ? et celui à droite du = ?
Conclusion.

par **barbu23** » 16 Oct 2010, 23:31

bipbip8 a écrit:Bonjour,

Je souhaite montrer que inf{x;y}= (x+y-|x-y|)

On sait que (x+y)/2 est le milieu de x et y ; et (x-y)/2 est égal à epsilon mais je n'arrive pas à avancer plus loin pour le démontrer rigoureusement. En fait l'infimum est x mais quelle piste pour le démontrer ?

Si

, alors

et

sont comparables, car

et totalement ordonnée.
Si :

, alors : ( termine .... tu verifies comment deviens les deux membres de ton equation et tu verras qu'il y'a egalité )
Si :

, alors : ( termine .... la même chose )

par **bipbip8** » 16 Oct 2010, 23:40

Oui j'ai oublié on a ajouté un lemme : soit l'ensemble A appartenant aux réels, minoré et non vide et soit M appartenant à R

Si quelque soit x appartenant à A x=>M et M appartenant à A

Alors M = inf A

Ce lemme devait aider à la démonstration donc à utiliser mais je ne vois pas le lien avec inf xy

par **bipbip8** » 16 Oct 2010, 23:43

barbu23 a écrit:Si , alors et sont comparables, car et totalement ordonnée.
Si : , alors : ( termine .... tu verifies comment deviens les deux membres de ton equation et tu verras qu'il y'a egalité )
Si : , alors : ( termine .... la même chose )

ok Merci à vous

par **Ben314** » 17 Oct 2010, 01:21

bipbip8 a écrit:Oui j'ai oublié on a ajouté un lemme : soit l'ensemble A appartenant aux réels, minoré et non vide et soit M appartenant à R

Si quelque soit x appartenant à A x=>M et M appartenant à A

Alors M = inf A

Ce lemme devait aider à la démonstration donc à utiliser mais je ne vois pas le lien avec inf xy

Heuuuu...
Le lemme en question, il est utile et pertinent lorsque l'ensemble A est infini (et où il risque de ne pas y avoir de plus petit élément parmi les éléments de A), mais, par contre, lorsque A est fini comme ici (il n'a au plus que deux éléments), ben c'est pas la peine de faire tout un charabia pour parler du plus petit des deux éléments...

En "termes techniques", si un ensemble est fini et non vide, il a forcément un "Min", [Déf : un plus petit élément] et, dans ce cas, son "Inf", [Déf : son plus grand minorant] ben c'est évidement son "Min"

Infimum {x;y}

Infimum {x;y}

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