Infimum et supremum

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Deidara
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infimum et supremum

par Deidara » 26 Sep 2021, 15:55

Bonjour, j'ai l'équation suivante :
A = (-1)^n + (2^n+1)/2^n , n appartenant à N

L'infimum de A est 0, mais je n'arrive pas à le justifier avec la (formule xepsilon - 0 =< epsilon)
Quelqu'un pourrait m'expliquer ?

Merci



GaBuZoMeu
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Re: infimum et supremum

par GaBuZoMeu » 26 Sep 2021, 16:28

Bonjour,

Que veux dire la formule que tu as écrite ?

Deidara
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Re: infimum et supremum

par Deidara » 26 Sep 2021, 17:50

Bonjour, la formule que j'ai donné permet de vérifier si 0 est bien le plus grand des minorant de A.
Si j'arrive à trouver un xepsilon qui vérifie cette formule alors 0 sera bien l'infimum de A

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Re: infimum et supremum

par GaBuZoMeu » 26 Sep 2021, 17:59

Je suppose que tu as déjà vérifié que 0 est un minorant de .

Pour montrer que c'est la borne inférieure de (le plus grand des minorants de ), il suffit alors de montrer que pour tout il existe tel que . Ne pas oublier les quantificateurs, c'est primordial !
Il n'est pas inutile pour cela de savoir quelle est la limite de quand tend vers l'infini.

Deidara
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Re: infimum et supremum

par Deidara » 26 Sep 2021, 18:05

Oui en effet j'avais trouvé que 0 était un minorant de A. Pour résoudre cette inéquation est il nécessaire de traiter les cas n pair et n impair séparément ?

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Re: infimum et supremum

par GaBuZoMeu » 26 Sep 2021, 18:17

La parité de joue bien sûr un rôle à cause du .
Mais il ne s'agit pas de "résoudre cette inéquation". Il suffit de donner un argument pour montrer que pour tout il existe tel que ...
Je t'ai donné une indication pour ça.

Deidara
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Re: infimum et supremum

par Deidara » 26 Sep 2021, 18:24

J'ai trouvé n >= log en base 2 (1/epsilon) donc j'en ai déduit que n = [log2(1/epsilon)] est-ce correct ?

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Re: infimum et supremum

par GaBuZoMeu » 26 Sep 2021, 18:28

Là, tu ne tiens pas compte de la parité de n.

Deidara
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Re: infimum et supremum

par Deidara » 26 Sep 2021, 18:31

oui j'ai pris n impaire dans ce cas

Deidara
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Re: infimum et supremum

par Deidara » 26 Sep 2021, 18:34

pour n pair n=< log2(-1/1-epsilon) pour epsilon >1, donc j'ai pris n = log2(-1/1-espilon)-1 ?

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Re: infimum et supremum

par GaBuZoMeu » 26 Sep 2021, 18:44

Incompréhensible.

Deidara
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Re: infimum et supremum

par Deidara » 26 Sep 2021, 18:55

Heu, en fait j'ai essayé de trouver une valeur de n quand n est impair donc en remplaçant le (-1)^n de la formule par -1 et une autre valeur de n quand n est pair en remplaçant (-1)^n par 1

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Re: infimum et supremum

par GaBuZoMeu » 26 Sep 2021, 19:33

J'ai l'impression que tu n'as pas encore compris l'esprit de l'exercice.

Tu dois montrer que pour tout , IL EXISTE UN entier tel que .
Si , cet entier sera forcément impair puisque pour pair on a déjà .
Ensuite, il n'est pas nécessaire de trouver explicitement un tel entier , il suffit de montrer qu'il en existe. Bien sûr, si tu peux en expliciter un, ça marche ; il suffit alors d'en expliciter un.

 

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