Infimum et supremum

[Deidara]

Bonjour, j'ai l'équation suivante :
A = (-1)^n + (2^n+1)/2^n , n appartenant à N

L'infimum de A est 0, mais je n'arrive pas à le justifier avec la (formule xepsilon - 0 =< epsilon)
Quelqu'un pourrait m'expliquer ?

Merci

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Que veux dire la formule que tu as écrite ?

[Deidara]

Bonjour, la formule que j'ai donné permet de vérifier si 0 est bien le plus grand des minorant de A.
Si j'arrive à trouver un xepsilon qui vérifie cette formule alors 0 sera bien l'infimum de A

[GaBuZoMeu]

Je suppose que tu as déjà vérifié que 0 est un minorant de .

Pour montrer que c'est la borne inférieure de (le plus grand des minorants de ), il suffit alors de montrer que pour tout il existe tel que . Ne pas oublier les quantificateurs, c'est primordial !
Il n'est pas inutile pour cela de savoir quelle est la limite de quand tend vers l'infini.

[Deidara]

Oui en effet j'avais trouvé que 0 était un minorant de A. Pour résoudre cette inéquation est il nécessaire de traiter les cas n pair et n impair séparément ?

[GaBuZoMeu]

La parité de joue bien sûr un rôle à cause du .
Mais il ne s'agit pas de "résoudre cette inéquation". Il suffit de donner un argument pour montrer que pour tout il existe tel que ...
Je t'ai donné une indication pour ça.

[Deidara]

J'ai trouvé n >= log en base 2 (1/epsilon) donc j'en ai déduit que n = [log2(1/epsilon)] est-ce correct ?

[GaBuZoMeu]

Là, tu ne tiens pas compte de la parité de n.

[Deidara]

oui j'ai pris n impaire dans ce cas

[Deidara]

pour n pair n=< log2(-1/1-epsilon) pour epsilon >1, donc j'ai pris n = log2(-1/1-espilon)-1 ?

[GaBuZoMeu]

Incompréhensible.

[Deidara]

Heu, en fait j'ai essayé de trouver une valeur de n quand n est impair donc en remplaçant le (-1)^n de la formule par -1 et une autre valeur de n quand n est pair en remplaçant (-1)^n par 1

[GaBuZoMeu]

J'ai l'impression que tu n'as pas encore compris l'esprit de l'exercice.

Tu dois montrer que pour tout , IL EXISTE UN entier tel que .
Si , cet entier sera forcément impair puisque pour pair on a déjà .
Ensuite, il n'est pas nécessaire de trouver explicitement un tel entier , il suffit de montrer qu'il en existe. Bien sûr, si tu peux en expliciter un, ça marche ; il suffit alors d'en expliciter un.