Inf d'une somme sur |R

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math71
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inf d'une somme sur |R

par math71 » 01 Déc 2018, 17:55

Bonjour,
Je ne sais pas comment aborder la question suivante:
soient a1<a2<...<an des réels. Déterminer inf (sur x élément de R) de sigma sur i allant de 1 à n de |x-ai|
Pouvez-vous s'il vous plait me donner une indication de départ? Merci d'avance.



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Ben314
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Re: inf d'une somme sur |R

par Ben314 » 01 Déc 2018, 18:25

Salut,
Que peut tu dire de la restriction de ta fonction à ou à un des intervalle ou à ?
Qu'en déduit tu concernant le max de ta fonction sur un de ces intervalle ?
Modifié en dernier par Ben314 le 01 Déc 2018, 19:05, modifié 3 fois.
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Mimosa
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Re: inf d'une somme sur |R

par Mimosa » 01 Déc 2018, 18:27

Bonjour

C'est bien ? Si oui, demande-toi quels termes de cette somme peuvent s'annuler.

math71
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Re: inf d'une somme sur |R

par math71 » 01 Déc 2018, 18:34

Oui c'est bien ce que vous avez marqué.
Pour x=ai, un des termes de la somme s'annule et on a donc une somme de n-1 termes, mais je ne vois toujours pas en quoi cela nous aide... Géométriquement cela correspond à la somme des distances du point Ai aux autres points (si je dis que Ai est le point d'abscisse ai), mais comme c'est sur une droite... Désolé, je ne vois pas

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Ben314
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Re: inf d'une somme sur |R

par Ben314 » 01 Déc 2018, 18:46

Ben si tu voit rien, prend un exemple concret.
Si on prend f(x)=|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-4|+|x-6|.
C'est quoi l'expression de f(x) sur ]-oo,-3[ ? sur ]-3,-2[ ? sur ]-2,1[ ? sur ]1,4[ ? sur ]4,6[ ? sur ]6,+oo[ ?
C'est quoi les variations de f (sur ]-oo,+oo[) ?
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math71
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Re: inf d'une somme sur |R

par math71 » 01 Déc 2018, 19:00

Sur ]-infini; -3], f(x) = -5x+6 donc inf est atteint en -3 et vaut 21
Sur ]-3;-2], f(x) = -3x+12 donc inf atteint en -2 et vaut 18
Sur ]-2;1], f(x) = -x+16 donc son inf est atteint en 1 et vaut 15
Sur [1;4], f(x) = x+14 donc son inf est atteint en 1 et vaut aussi 15
Sur [4;6] f(x) = 3x+6 donc son inf vaut f(4) = 18
Sur [6;+infini[ f(x) = 5x-6 donc son inf vaut f(6) = 24
d'où finalement l'inf cherché qui vaut 15.
J'essaie maintenant de transposer ça au cas général. je reviens quand je penserai avoir trouvé ou si je séche. merci déjà pour ce coup de pouce.

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Re: inf d'une somme sur |R

par math71 » 01 Déc 2018, 19:08

Excusez-moi Ben 314, mais je n'avais pas vu votre première intervention.
Sur chacun des intervalles [ai;ai+1], l'inf est atteint à l'une des extrémités puisqu'on a une fonction affine.
Sur ]-infini;a1], c'est forcément une fonction affine décroissante car toutes les valeurs absolues sont l'opposé du nombre x-ai donc l'inf est obtenu en a1.
et sur [an;+infini[, toutes les valeurs absolues sont égales à x-ai donc la fonction affine est croissante donc l'inf est obtenu en an.
il reste à voir quel est l'inf de tous ces inf...

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Re: inf d'une somme sur |R

par math71 » 01 Déc 2018, 19:15

Au fait faut-il continuer et peut-on affiner la réponse ou bien suffit-il de répondre que inff(x) pour x sur |R est inf f(ai) i allant de 1 à n?

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Ben314
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Re: inf d'une somme sur |R

par Ben314 » 01 Déc 2018, 19:26

C'est effectivement un "bon pas en avant", mais on peut aller pas mal plus loin en précisant sur quel ce min va être atteint.
On peut soit évaluer les , mais c'est un peu long et chiant, soit bien plus simplement regarder quelle est la pente de la restriction de f à un des intervalles
Regarde ton exemple et tu devrais voir qu'en fait les pentes sont très facile à évaluer, même dans le cas complètement général de valeurs non connues explicitement.
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Re: inf d'une somme sur |R

par math71 » 01 Déc 2018, 19:39

Au début la pente est -n, puis -n+2, puisqu'on rajoute chaque fois 2x, jusqu'à ce qu'on "bascule " à une pente positive pour aboutir finalement à une pente de n. J'ai constaté sur l'exemple que l'inf était obtenu avec le ai du milieu (on avait un nombre impair de ai sur l'exemple).
En fait f est une fonction positive (car somme de valeurs absolues) qui est d'abord décroissante, puis finalement croissante donc l'inf est obtenu au moment où on change de sens de variation càd si n est impair (n=2p+1) pour ap et si n est pair (n=2p) pour ap ou ap+1, on prend l'inf des 2 valeurs obtenues. C'est ça?

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Ben314
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Re: inf d'une somme sur |R

par Ben314 » 01 Déc 2018, 19:49

Oui, c'est tout à fait ça à un détail prés : Si n est pair alors sur l'intervalle "du milieu", le coeff. du x est 0 donc la fonction est constante sur tout l'intervalle donc le minimum est atteint en n'importe quel point de l'intervalle.
Bref, tu as pas à comparer les valeurs aux deux extrémités de l'intervalle vu que c'est forcément les mêmes (ainsi que sur tout l'intervalle).
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Re: inf d'une somme sur |R

par math71 » 01 Déc 2018, 19:59

merci beaucoup!! Au-revoir

 

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