Inéquation trigonométrique [Terminale/Prépa]

[MathExpaf]

Bonjour à tous, j'ai reçu un dm de maths pour la classe de MPSI avec à l'intérieur une inéquation
trigonométrique redoutable. En effet j'ai passé je ne sais pas combien de temps à essayer de la résoudre et vraiment rien n'y fais.

L'inéquation est la suivante :

(3-4cos^2(x))^(1/2) > 1+3sin(x).

Ps : c'est bien une racine à gauche mais je ne connais pas de moyen de la faire autrement qu'avec une puissance 1/2 ici.

Mon idée était d'élever au carré mais pour cela il faut m'assurer que 1+3sinx est positif car sinon on ne sais pas si le sens de l'inégalité est modifié, je suppose donc que je dois faire une disjonction de cas entre 1+3sinx>0 et 1+3sinx<0. Mais cela me demande de résoudre sinx >-1/3 qui n'est pas une valeur remarquable et je me trimballe donc des arcsinus de partout durant la résolution du problème et cela me parait extrêmement compliqué pour le simple petit exercice qu'est ce problème.

C'est pourquoi j'aimerais avoir vos retours afin de m'aider à résoudre ce problème qui me torture l'esprit depuis un long moment.
Merci d'avance !
Ps:Je suis donc en terminale en route vers ma première année de sup

[lyceen95]

Soit a = arcsin(1/3)
Et voilà, ton problème avec les arcsinus compliqués que tu dois trimballer de partout, il est résolu.

Mais avant, tu aurais dû parler d'un autre point. C'est que 3-4cos²x doit être positif, sinon on est en train de manipuler des choses qui n'existent pas.

[Pisigma]

Bonjour,

voir ici https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15239

c'est sympa pour les gens qui aident

[tournesol]

pas de solution réelle car l'élévation au carré donne ce qui est impossible avec un delta négatif.

[Ben314]

pas de solution réelle car l'élévation au carré donne ce qui est impossible avec un delta négatif.

Hummmm....
Est-ce que x=-pi/6 ne serait pas une solution de l'inequation de départ ?

[tournesol]

Merci Ben314 , c'était l'heure de la sieste. J'ai du faire n'importe quoi .

[MathExpaf]

Bonjour,

voir ici https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15239

c'est sympa pour les gens qui aident

Alors je vais être tout à fais franc c'est la première fois que j'utilise un forum pour demander de l'aide donc premièrement je n'ai aucune idée de touts les détails de comment s'y prendre.
De plus j'ai eu du mal à retrouver ce matin les articles que j'avais posté donc je ne pouvais pas voir les réponses qui m'avait été apportée. Je remercie par ailleurs grandement tout ceux qui m'ont apporté leur temps et aide

[MathExpaf]

pas de solution réelle car l'élévation au carré donne ce qui est impossible avec un delta négatif.

Hummmm....
Est-ce que x=-pi/6 ne serait pas une solution de l'inequation de départ ?

il me semble que les solutions sont x:[-5pi/6 ; -pi/6] mais je vois pas comment le démontrer et effectivement on a un delta negatif donc c'est un peu bizarre je vois pas vraiment quoi faire .

Si je suppose 1+3sinx >0 delta est negatif donc ça veut dire que quand 1+3sinx >0 l'inéquation n'admet pas de solution.

Donc il y a le cas ou 1+3 sinx <0 et la je n'ai aucune idée de quoi faire à partir de là parce que je peux donc pas élever au carré.

Ah je viens d'avoir une idée. Si quand 1+3sinx>0 il n'y a pas de solutions, cela veut dire qu'on doit voir quand 1+3sinx<0.
Or, (3-4cos^2(x))^1/2 étant une racine donc positif, ce sera toujours plus grand que 1+3sinx.
Donc ça veut dire que les solutions c'est l'ensemble de définition de 3-4cos^2(x)>0 ??
Puisque l'inégalité est toujours vraie pour tout x dans l'ensemble de définition

[Black Jack]

Bonjour,

On peut limiter l'étude à x dans [0 ; 2Pi[ et puis étendre les conclusions ensuite

Condition d'existence : 3 - 4cos²(x) >= 0 soit cos²(x) <= 3/4, donc cos(x) compris dans [-V3/2 ; V3/2], soit x compris dans [Pi/6 ; 5Pi/6] U [7Pi/6 ; 11Pi/6]

a) Pour les valeurs de x dans [Pi/6 ; 5Pi/6] U [7Pi/6 ; 11Pi/6], si on a (1 + 3sin(x)) < 0, l'inéquation est toujours satisfaite.
Or (1 + 3sin(x)) < 0 ---> sin(x) < - 1/3... ce qui est le cas sur [7Pi/6 ; 11Pi/6]
On trouve que x compris dans [7Pi/6 ; 11Pi/6] convient.

b) Pour les valeurs de x dans [Pi/6 ; 5Pi/6] U [7Pi/6 ; 11Pi/6], si on a (1 + 3sin(x)) >= 0 ...
on élève les 2 membres de l'inéquation au carré ... et on arrive à une équation qui n'a pas de solutions.

Groupement des résultats :

Solutions : x compris dans [7Pi/6 ; 11Pi/6] mod(2Pi)

Ou écrit autrement : Solutions : x compris dans [7Pi/6 + 2k.Pi ; 11Pi/6 + 2k.Pi] avec k dans Z

[tournesol]

Tout à fait d'accord. J'avais perdu de vue que:
ssi
Qui donne après distributivité et réduction:

[MathExpaf]

Bonjour,

On peut limiter l'étude à x dans [0 ; 2Pi[ et puis étendre les conclusions ensuite

Condition d'existence : 3 - 4cos²(x) >= 0 soit cos²(x) <= 3/4, donc cos(x) compris dans [-V3/2 ; V3/2], soit x compris dans [Pi/6 ; 5Pi/6] U [7Pi/6 ; 11Pi/6]

a) Pour les valeurs de x dans [Pi/6 ; 5Pi/6] U [7Pi/6 ; 11Pi/6], si on a (1 + 3sin(x)) < 0, l'inéquation est toujours satisfaite.
Or (1 + 3sin(x)) < 0 ---> sin(x) < - 1/3... ce qui est le cas sur [7Pi/6 ; 11Pi/6]
On trouve que x compris dans [7Pi/6 ; 11Pi/6] convient.

b) Pour les valeurs de x dans [Pi/6 ; 5Pi/6] U [7Pi/6 ; 11Pi/6], si on a (1 + 3sin(x)) >= 0 ...
on élève les 2 membres de l'inéquation au carré ... et on arrive à une équation qui n'a pas de solutions.

Groupement des résultats :

Solutions : x compris dans [7Pi/6 ; 11Pi/6] mod(2Pi)

Ou écrit autrement : Solutions : x compris dans [7Pi/6 + 2k.Pi ; 11Pi/6 + 2k.Pi] avec k dans Z

Wow merci beaucoup j'ai compris beaucoup plus rigoureusement le déroulement de la démonstration merci beaucoup !