Inéquation d'un coût marginal

[xenkheul]

Bonjour,

Je sollicite un peu d'aide de votre part car je tourne en rond depuis quelques heures
Je tiens à préciser que j'ai plus besoin d'une méthode qu'autre chose, disposant déjà du résultat à mon problème

Il s'agit de maximiser la fonction bénéfice suivante : Max E = 5x1 + 2x2 où x1 et x2 représentent respectivement les quantités de produit P1 et P2
sous les contraintes suivantes :
x1 + 2x2 ;) 28 (1)
x1 + 5x2 ;) 60 (2)
2x1 + x2 ;) 30 (3)
5x1 + x2 ;) 70 (4)

Si j'ai bien compris le principe du coût marginal, cela consiste à partir du fait qu'on priorise P1 puisque sa marge bénéficiaire est plus grande et ensuite à affiner.
J'obtiens, en prenant x2 = 0 (en ne produisant pas de P2 donc), la saturation de l'inéquation (4) ce qui me donne E = 70.
Les inéquations (2), (3) et (4) ne sont pas saturées, celle la plus proche de la saturation étant (3) puisque pour x1 = 14, il me reste x2 2.

J'utilise ensuite l'inéquation (4) car j'ai remarqué qu'en enlevant \frac{1}{5} de x1, j'obtiens 1 x2.
En itérant ce processus 3 fois, je garde (4) presque saturée et je m'approche le plus possible de la saturation de (3) tout en gardant vérifiées les contraintes liées aux inéquations (1) et (2).

Au final, j'obtiens x1 = 13,4 et x2 = 3 et donc E = 73.
Mon bénéfice est optimisé mais pourtant j'ai encore un petit peu de marge. Je devrais arriver à un résultat de x1 = 13.3 et x2 = 3.33 et E = 73.3. Avec ces valeurs de x1 et x2, j'approche encore plus de la saturation mes inégalités (3) et (4). C'est ici que je bute, ne sachant pas comment affiner encore plus mon raisonnement pour obtenir ces chiffres J'ai eu beau chercher la méthode permettant de trouver ces valeurs (je me doute qu'il doit s'agir d'un quotient ou d'un simili produit en croix) mais impossible d'y arriver.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer, il m'enlèverait une sacré épine du pied

Merci d'avance !

[maturin]

Je suis pas un expert de ta méthode mais je dirais:

Si tu as idéntifié que (3) et (4) sont les inéquations les plus proches de saturer chercher x1 et x2 qui les saturent toutes les deux, c'est à dire x1 et x2 qui vérifient

2x1+x2=30
5x1+x2=70

soit en résolvant ce système x1=40/3=13.333 et x2=10/3=3.333
ce qui vérifie aussi tes inéquations (1) et (2)

ça te donne tes résultats exacts.

Par contre je ne vois pas l'argument mathématique qui à ce niveau te garanti d'être au maximum.

Pour moi pour prouver le résultat il faut que tu regardes par couple d'inéquation les points d'intersection de chaque droit et voir la valeur de E.

Je ne connais pas la théorie consistant à partir de x2=0, x1=14, meme si je vois que graphiquement elle a un sens. Si tu dessines dans le plan (O,x1,x2) toutes tes inéquations, tu sais que ta solution est sur le bord et le but et de se 'ballader' sur le bord. Partir de x2=0, x1=14 a du sens car tu arrives plus vite à la solution que de partir de x1=0, x2=12.
Et sinon ma solution n'a rien à voir avec ton essai par petit ajustement, je vais direct à l'intersection suivante.