Inégalités de fonctions

[Nelo]

Bonsoir,

On me demande de montrer les inégalités suivantes:

h(x):= (1+x) log(1+x) - x >= x²/(2+2x/3) :=f(x) pour x>0

et

1+x - (1+2x)^(1/2) >= x²/(2+2x) pour x>0

NB: en calculant les dérivées premières de la première inégalité, je vois que les deux fonctions sont croissantes pour x>0, et j'ai calculé que la dérivée seconde de h(x) est plus grande que celle de f(x) pour x>0, cela suffit comme argument?

[mathelot]

une inégalité



s'intégre en



ce qui se voit en écrivant que les fonctions sont des primitives de leurs dérivées
si ces dernières sont continues