Inégalité d'Young
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COTLOD
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par COTLOD » 17 Fév 2009, 10:49
Bonjours,
J'ai commencé un exercice dans "calcul infinitésimal" dont je n'ai pas de solution. Il s'agit d'utiliser l'inégalité d'Young pour prouver une autre inégalité.
Inégalité (1) d'Young :
dt+\int_0^y g(u)du$$)
Inégalité (2) à démontrer :
+e^{y-1}$$)
La difficulté (je trouve) c'est que les conditions d'application de l'inégalité d'Young sont
continue et strictement croissante sur
avec
=0$)
,
est sa réciproque sur
]$)
,
et
$)
or l'inégalité (2) est à démontrer pour tous
.
Merci d'avance pour vos idées.
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ThSQ
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par ThSQ » 17 Fév 2009, 11:10
 dx + \int_0^b (e^x -1) dx)
Puis x -> x-1 et y-> y-1
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COTLOD
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par COTLOD » 17 Fév 2009, 11:54
Tu propose bien des changements de variables x->x-1 et y->y-1 pour les intégrales ? Si je ne me trompe pas on a :
dx=\int_1^{a+1} log(x)dx=[xlog(x)-x]_1^{a+1}=(a+1)log(a+1)-a$)
Je ne vois pas comment réduire.
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ThSQ
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par ThSQ » 17 Fév 2009, 12:48
En fait, j'ai d'abord intégré la première inégalité puis remplacer mais on peut tout faire d'un coup comme toi. Tu es presque au bout là, tu peux factoriser (a+1)(b+1) "à gauche".
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COTLOD
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par COTLOD » 17 Fév 2009, 13:10
Merci pour cette solution mais elle me pose un problème : soit l'ingalité
+e^{y-1}$)
n'est démontrée que pour x>1 ; soit l'inégalité d'Young n'est pas utilisé dans les conditions que j'ai données (...
).
En effet, en reprenant les notations du calcul précédent, on établit
(b+1)\leq (a+1)log(a+1)+e^b$$)
avec a>0 (à cause de l'inégalité d'Young utilisée).
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