Inégalité

[Sara1999]

Bonjour,
a , b , c et d 4 réels tels que a+b+c+d=2
Montrer que a^3+b^3+c^3+d^3 >=1/2
Pouvez-vous m’aider . Merci.

[Sara1999]

J’ai posé c+d-2= C ,
Et j’ai montré que : a+b+C=0 => a^3+b^3+C^3=3abC.
Ceci => a^3+b^3+c^3+d^3>=
6d(d-2)+3c(d-2)(a+b)-3ab(a+b)+8
Mais je n’ai pas pu avancer .

[lyceen95]

Etape 1, envisager le cas 'limite', le cas où a=b=c=d . On constate que l'inégalité est juste vérifiée.
On se dit qu'en diminuant un petit peu a, on augmente un petit peu b, et notre somme de carrés augmenterait ?
Et là, ça nous donne une idée. Les variations autour de ce point limite, c'est ce qui nous intéresse.

Ecrivons a=1/2+a' , b=1/2+b' , c=1/2+c' et d=1/2+d'
et donc on sait que a'+b'+c'+d'=0
et ... hop, ça roule.

[Sara1999]

Merci beaucoup mais comment terminer les calculs sachant que a’,b’,c’ et d’ sont des réels Non forcément positifs.

[mathelot]

Bonjour,

On pose la somme .

En remplaçant a,b,c,d par leurs valeurs en fonction de a',b',c',d', il vient





sachant que à démontrer.

Après, on peut utiliser le multiplicateur de Lagrange, mais je ne m'en suis pas vraiment sorti.

[Sara1999]

Je crois que l’inégalité demandée n’est pas vraie pour tous les réels, en effet, si on prend a’=-4, b’=c’=2 et d’=0
alors (3/2)(a’^2+b’^2+c’^2+d’^2)+(a’^3+b’^3+c’^3+d’^3)=-23/2<0
Et alors je crois qu’on ne peut traiter l’exercice de façon générale, autrement ce serait très compliqué, et qu’il faut rajouter la condition: les 4 réels sont positifs.
Merci de donner votre avis.

[tournesol]

a=b=c et d=2-3a
qui est équivalent a en +ou-l'infini.
je doute que ton égalité soit vraie sur

[tournesol]

tu dois d'abord déterminer le mini de lorsque a+b=2 avec a et b positifs.
procède par substitution
donc le mini de lorsque a appartient à .....
Je t'aiderai ensuite.

[Sara1999]

Effectivement j’avais remarqué et mentionné avant que l’inégalité n’est pas vraie dans IR^4, donc vous proposez m’aider dans le cas où tous les réels sont positifs si j’ai bien compris.
Le minimum de a^3+b^3 est bien sûr 2 lorsque a+b=2 , il est atteint en a=b=1 .
Merci de m’aider encore plus.

[tournesol]

Détermine maintenant le minimum de lorsque a+b+c=2 et que a,b,et c sont positifs.
Procèdes par substitution:
Cela revient à déterminer le minimum de lorsque (a,b) décrit le triangle dont les sommets ont pour coordonnées ... , intérieur et frontière comprise.
Pour l'intérieur, c'est par la recherche des points critiques.
Pour la frontière, c'est quand une des variables est nulle,ce qui revient à l'étude que je t'ai proposé dans mon message précédent.

[Sara1999]

J’ai trouvé 8 / 9, le minimum est atteint en a=b=c=2/3
Comment je pourrai terminer,
Merci .

[tournesol]

OK pour
Tu appliques la même méthode avec 4 variables:
Déterminer le minimum de lorsque (a,b,c) décrit la pyramide dont les sommets ont pour coordonnées... , intérieur et frontière comprise.
Pour l'intérieur, c'est par les points critiques.
Pour la frontière, c'est quand une variable est nulle, et donc le mini est sur chaque face.
Le demi que tu vas calculer à l'intérieur est inférieur à . Bingo!

[tournesol]

Il est facile de montrer par récurrence que si le nombre de variables est égal à n ,
le minimum est égal à et qu'il est atteint lorsque les variables sont toutes égales à .
Ces formules s'appliquent également lorsque n est égal à 1 .

[Sara1999]

Finalement j’arrive!!!
Merci beaucoup pour votre aide, et la généralisation est intéressante.