Inégalité
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Viko
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par Viko » 26 Juil 2017, 21:51
Bonjour,
Je cherche à montrer que
et
et
exactement un des réels a, b et c et strictement supérieur à 1
tout sa,
me servir des multiplicateur de Lagrange
j'ai donc penser à utiliser l'identité de Gauss (puisque le but de l'exercice précédent était de la démontrer), l'identité de Gauss est la suivante :
comme ici on a
on obtient que :
mais je ne sais pas vraiment comment poursuivre....
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Arbre
par Arbre » 26 Juil 2017, 22:06
Bonjour,
on a :
donc
Donc l'inéquation devient :
c'est à dire :
c'est à dire :
c'est à dire (car on ne peut pas avoir a=1 ou b=1, car sinon on n'aurait pas l'inégalité stricte)
ssi
,
et
ssi
,
et
ce sont des équivalences.
Cordialement.
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Viko
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par Viko » 26 Juil 2017, 22:49
j'étais en effet arriver à cette inégalité de mon côté mais je ne vois absolument pas comment la prouver sans utiliser les multiplicateur de Lagrange, une piste peut-être ? (désolé si mes questions peuvent paraitre naïve mais je suis un grand débutant en ce qui concerne ce genre d'inégalité)
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Arbre
par Arbre » 26 Juil 2017, 23:05
Où vois tu que j'ai utilisé les multiplicateurs de Lagrange ?
Je n'ai fait qu'une factorisation, à aucun moment je n'ai dérivée quoique cela soit, je n'ai pas fait de calcul diff, donc j'ai encore moins utilisé les multiplicateurs de Lagrange.
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Viko
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par Viko » 26 Juil 2017, 23:20
je n'ai pas dit que tu l'avais utiliser ! je te demandais simplement comment prouver que
sans s'en servir justement, mais ton post éditer réponds à ma question, merci beaucoup j'ai par ailleurs trouvé un moyen détourner pour résoudre ce problème entre temps, il suffit de considérer le polynôme
qu'on développe pour obtenir
ainsi on a d'une part :
et de l'autre
qui,comme
, se simplifie par
l'inégalité
implique évidement que
on a donc
on a alors les trois réels a, b et c supérieur à 1 ou un seul d'entre eux mais l’hypothèse
exclue la première possibilité on a donc nécessairement un seul des trois nombres strictement supérieur à 1
encore merci pour ton aide !
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Arbre
par Arbre » 26 Juil 2017, 23:27
Bizarre. Apprendre à se tromper fait partie des maths.
Au revoir.
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par Viko » 26 Juil 2017, 23:29
qu'est-ce qui est bizzare ?
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Arbre
par Arbre » 26 Juil 2017, 23:34
Je n'ai pas l'impression d'avoir édité quoi que cela soit (dans mon premier message), aprés ton message ton deuxième message.
Deplus on a directement : a+b-a*b-1/a-1/b+1/(a*b)=(1-1/a)*(1-1/b)-(1-a)*(1-b) suffit de développer pour le voir pas besoin de multiplicateur de Lagrange.
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