Inégalité à résoudre

[Tilu]

Bonjour

Description du problème posé:
J'ai deux angles x et y. Les deux sont dans l'intervalle [-pi/2; pi/2] (Remarque: leur cosinus sont donc toujours positifs.)
On cherche une condition sur y pour vérifier l'inégalité (a): -tan(x)tan(y)>1

Résolution proposée:
Le cas limite est donc: tan(x)tan(y) = -1
=> tan(y) = - cot(x)
=> y = x - pi/2 (+/- kPi).
Remarque: En général, les formulaires de trigo donne plutôt y = x + pi/2, mais je souhaiterais suivre pas à pas la solution donnée pour l'exercice, qui prend y = x - pi/2. Ca me permettra de mieux expliquer où je bute.

A partir de là, la solution dit directement (sans étape intermédiaire) que pour avoir (a), la condition est donc logiquement: y < x - pi/2.

Ma question:
Quel est le raisonement qui permet - "à vue" - de déduire directement du cas limite y = x - pi/2 que la condition est: y < x-pi/2?
Je n'arrive pas à le "voir" du tout. Est ce que quelqu'un pourrait me l'expliquer?

Merci par avance.
Tilu.-

[Ben314]

Salut,
Si le raisonnement de départ était juste (sauf qu'il ne l'est pas...), l'argument à utiliser serait tout bête : si dans la formule on regarde x comme étant fixé une bonne fois pour toute, alors la fonction de ]-pi/2,pi/2[ dans R qui à y associe tan(x).tan(y) est évidement continue et ça signifie qu'elle ne peut pas changer de signe sans s'annuler.
Donc vu qu'elle s'annule uniquement en y=x-pi/2, ça signifie qu'elle est de signe constant pour y<x-pi/2 et qu'elle est aussi de signe constant pour y>x-pi/2 et il n'y a qu'à regarder deux "cas particulier" (1) (par exemple les limites lorsque y tend vers -pi/2 et lorsqu'il tend vers +pi/2) pour savoir quels sont ces deux signes, sachant qu'il est fort probable, que la fonction change de signe à l'endroit où elle s'annule, mais que ce n'est pas une certitude : par exemple f(x)=x² s'annule en x=0, mais ne change pas de signe.

Sauf qu'en fait, le raisonnement de départ est faux : tan(y)=-cot(x) équivaut effectivement à y=x-pi/2+k.pi avec k dans Z (2) sauf que l'unique solution avec y dans ]-pi/2,pi/2[ ne sera y=x-pi/2 que dans le cas où x>0.
Par contre, si x<0, l'unique solution avec y dans ]-pi/2,pi/2[ ne sera y=x+pi/2.

(1) Ou alors utiliser le fait bien connu que la fonction tan est croissante sur ]-pi/2,pi/2[ pour en déduire que, si tan(x)>0, alors y->tan(x)tan(y) est croissante donc est <0 avant l'endroit où elle s'annule et >0 après (et c'est le contraire si tan(x)<0).

(2) qui, soit dit en passant, est très très exactement la même chose que y=x+pi/2+k.pi avec k dans Z vu que dans les deux cas, ce que ça dit, c'est que les solutions, c'est :
. . . ; y=x-7pi/2 ; y=x-5pi/2 ; y=x-3pi/2 ; y=x-pi/2 ; y=x+pi/2 ; y=x+3pi/2 ; y=x+5pi/2 ; y=x+7pi/2 ; . . .
(dire qu'on peut prendre pour k un entier relatif quelconque, c'est évidement la même chose que de dire qu'on qu'on peut prendre pour k+1 un entier relatif quelconque !!!)

[Ben314]

Et sinon, personnellement, pour éviter les cafouillages lié à la périodicité des solutions, je pense que j'aurais écrit :
-tan(x)tan(y)>1
<=> -sin(x)sin(y)>cos(x)cos(y) [car les cosinus sont tout les deux >0]
<=> cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)<0
<=> cos(x-y)<0
<=> x-y>pi/2 ou bien x-y<-pi/2 [car x-y est entre -pi et pi]

[Tilu]

Je vous remercie beaucoup.