Inégalité de fonctions convexe

[Patastronch]

Bonjour,

Soit une fonction convexe et croissante sur .

On dispose également des hypothèses suivantes (je ne sais pas si elles sont vraiment utiles) :
On a réels positif fixés mais quelconque tel que : .
On a réels positif fixés mais quelconque tel que : .
On a réels positif fixés mais quelconque tel que : .
On a réels positif fixés mais quelconque tel que : .

On cherche à montrer que

Je précise que je ne sais pas si ce que l'on cherche à montrer est vrai. Je tatone depuis quelques jours déjà la dessus mais sans résultat. Par contre on arrive à montrer facilement que :
, mais j'arrive pas à aller plus loin pour le moment.

Si l'un d'entre vous a une idée ...

Merci d'avance !

[Doraki]

f(x) = x^2
n=2
u1=1 u2=1
x1=0.1 x2 = 0.9
y1=0.3 y2 = 0.8
z1=0.5 z2 = 0.5
alpha <= 0.5

J'crois qu'il faut que la fonction soit affine sinon ça peut pas marcher quand alpha tend vers 0.

[Patastronch]

En effet, avec f linéaire on montre facilement que l'inégalité fonctionne. Je me demandais surtout si ca fonctionnait pour f non linéaire. Mais ton contre-exemple montre bien que si il existe des fonctions f non linaires pour que l'inégalité fonctionne, la convexité de la fonction f ne suffit pas comme condition.

Merci !