Salut,
Je sais pas quelle définition tu as de la convexité, mais quelle quelle soit, tu devrait arriver à montrer rapidement que, pour tout
fixé de
l'intervalle I (*) la fonction
\!-\!f(x)}{t\!-\!x})
est croissante sur
(**).
Et cette monotonie implique que, si
n'est pas une des éventuelles extrémités de l'intervalle
(***), les limites
\!=\!\lim_{t\to x^-}p(x))
et
\!=\!\lim_{t\to x^+}p(x))
existent et on a
\!\leq\!\ell_+(x))
.
Enfin, si tu prend un
)
quelconque dans l'intervalle (non vide)
,\ell_+(x)])
, la propriété que tu désire va être, quasi par définition vérifiée.
A mon avis, la petite difficulté de la preuve, c'est que sans hypothèse de dérivabilité, l'intervalle
va contenir plus d'un point donc "ton"
ne va pas être unique.
Autre difficulté : si on utilise pas comme un "résultat connu" le fait que toute fonction monotone admet des limite à droite et à gauche en tout point (sauf éventuellement au bord de l'intervalle), ben au fond il va falloir le redémontrer et la preuve n'est pas totalement triviale...
(*) : Je suppose évidement que tu te place sur un intervalle.
(**) : J'ai même vu certains auteurs prendre ça comme définition, mais ça semble quand même bien plus "logique" de prendre comme définition le fait que l'épigraphe soit une partie con
Vexe de R².
(***) : Et tu vérifiera à l'aide de contre exemple que ton résultat peut être faux si
est une des extrémités de
.
en particulier certaines conjugaisons 